Ejemplos

$\frac{1}{2}$ , $3$

Paso 1

Las raíces son los puntos en los que la gráfica forma una intersección con el eje x $(y = 0)$ .

$y = 0$ en las raíces

Paso 2

La raíz de $x = \frac{1}{2}$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (\frac{1}{2}) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - \frac{1}{2}$ .

Paso 3

La raíz de $x = 3$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (3) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - 3$ .

Paso 4

Combina todos los factores en una sola ecuación.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$

Paso 5

Multiplica todos los factores para simplificar la ecuación $y = (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$ .

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Paso 5.1

Expande $(x - \frac{1}{2}) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x - 3) - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3$

Paso 5.2.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} - 3 \cdot x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3$

Paso 5.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 3$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

Paso 5.2.1.4.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.2

Para escribir $- 3 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} - 3 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.3

Combina $- 3 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} + \frac{- 3 x \cdot 2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = x^{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.5

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.6

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 - x + 3}{2}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 \cdot x^{2} - 3 x \cdot 2 - x + 3}{2}$

Paso 5.3.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x + 3}{2}$

Paso 5.3.3

Resta $x$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$

Paso 5.3.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$

Paso 5.3.4.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 1$ más $- 6$

$y = \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{2}$

Paso 5.3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{2}$

Paso 5.3.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{2}$

Paso 5.3.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{2}$

Paso 5.3.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{2}$

Paso 5.4

Expande $(2 x - 1) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x (x - 3) - 1 (x - 3)}{2}$

Paso 5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)}{2}$

Paso 5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

Paso 5.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

Paso 5.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

Paso 5.5.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3}{2}$

Paso 5.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x + 3}{2}$

Paso 5.5.2

Resta $x$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$

Paso 5.6

Divide la fracción $\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$ en dos fracciones.

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.7

Divide la fracción $\frac{2 x^{2} - 7 x}{2}$ en dos fracciones.

$y = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.8.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.8.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = x^{2} - \frac{7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 6

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