Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - \frac{5}{4}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{5}{4})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $5 (- \frac{5}{4})$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.7.2

Combina $- 5$ y $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} - 6$

Paso 3.2.1.7.3

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6$

Paso 3.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

Paso 3.2.2.3

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.2.6

Reordena los factores de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.2.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 6$ por $8$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $50$ de $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25 - 48}{8}$

Paso 3.2.5.2

Resta $48$ de $- 25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 73}{8}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{73}{8}$ .

$- \frac{73}{8}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{73}{8})$

Paso 5

Ingresa TU problema