Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 8 x - 4$ , $x = 4$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $8 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 h + 8 x - 4$

Paso 2.2.2

Mueve $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

Paso 2.2.3

Reordena $2 h x$ y $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

$f (x) = x^{2} + 8 x - 4$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

$f (x) = x^{2} + 8 x - 4$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - (x^{2} + 8 x - 4)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - (8 x) - - 4}{h}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - 8 x - - 4}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - 8 x + 4}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 8 x - 4 + 0 - 8 x + 4}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 8 x - 4 - 8 x + 4}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $8 x$ de $8 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 0 - 4 + 4}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h - 4 + 4}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 0}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $h^{2} + 2 h x + 8 h$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h}{h}$

Paso 4.1.9

Factoriza $h$ de $h^{2} + 2 h x + 8 h$ .

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Paso 4.1.9.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 8 h}{h}$

Paso 4.1.9.2

Factoriza $h$ de $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 8 h}{h}$

Paso 4.1.9.3

Factoriza $h$ de $8 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 8}{h}$

Paso 4.1.9.4

Factoriza $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 8}{h}$

Paso 4.1.9.5

Factoriza $h$ de $h (h + 2 x) + h \cdot 8$ .

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h + 2 x + 8$ por $1$ .

$h + 2 x + 8$

Paso 4.2.2

Reordena $h$ y $2 x$ .

$2 x + h + 8$

Paso 5

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$2 (4) + h + 8$

Paso 6

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 + h + 8$

Paso 7

Suma $8$ y $8$ .

$h + 16$

Paso 8

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