Ejemplos

A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1

La nulidad es la dimensión del espacio nulo, que es igual a la cantidad de variables en el sistema luego de la reducción de fila. Las variables libres son las columnas sin posiciones de pivote.

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiplica cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en

1, 1

$1, 1$ sea

1

$1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en

1, 1

$1, 1$ sea

1

$1$ .

[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila

R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ para hacer que la entrada en

2, 1

$2, 1$ sea

0

$0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila

R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ para hacer que la entrada en

2, 1

$2, 1$ sea

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 2.3

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para hacer que la entrada en

3, 1

$3, 1$ sea

0

$0$ .

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Paso 2.3.1

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para hacer que la entrada en

3, 1

$3, 1$ sea

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

- \frac{3}{20}

$- \frac{3}{20}$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

- \frac{3}{20}

$- \frac{3}{20}$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Paso 2.5

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en

3, 2

$3, 2$ sea

0

$0$ .

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Paso 2.5.1

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en

3, 2

$3, 2$ sea

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 2.6

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

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Paso 2.6.1

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Las posiciones de pivote son las ubicaciones con el

1

$1$ principal en cada fila. Las columnas pivote son las columnas que tienen una posición de pivote.

Posiciones de pivote:

a_{11}

$a_{11}$ y

a_{22}

$a_{22}$

Columnas pivote:

1

$1$ y

2

$2$

Paso 4

La nulidad es el número de columnas sin una posición de pivote en la matriz reducida de la fila.

1

$1$

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