Ejemplos

$f (x) = 9 x^{2} + 3 x - 3$

Paso 1

Comprueba el coeficiente principal de la función. Este número es el coeficiente de la expresión con mayor grado.

Grado más grande: $2$

Coeficiente principal: $9$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{9 x^{2}}{9} + \frac{3 x}{9} + \frac{- 3}{9}$

Paso 2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (x) = x^{2} + \frac{3 x}{9} + \frac{- 3}{9}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (x) = x^{2} + \frac{3 (x)}{9} + \frac{- 3}{9}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (x) = x^{2} + \frac{3 x}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{9}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x) = x^{2} + \frac{3 x}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{9}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{- 3}{9}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $9$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (x) = x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{3 (- 1)}{9}$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (x) = x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (x) = x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x) = x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 3

Crea una lista de los coeficientes de la función excepto el coeficiente principal de $1$ .

$\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Paso 4

Hay dos opciones de cota, $b_{1}$ y $b_{2}$ , la menor de las cuales es la respuesta. Para calcular la primera opción de cota, obtén el valor absoluto del coeficiente más grande de la lista de coeficientes. Luego, suma $1$ .

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Paso 4.1

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{1} = | \frac{1}{3} |, | - \frac{1}{3} |$

Paso 4.2

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{1} = | - \frac{1}{3} |$

Paso 4.3

$- \frac{1}{3}$ es aproximadamente $- 0.\overline{3}$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{1}{3}$ y elimina el valor absoluto.

$b_{1} = \frac{1}{3} + 1$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$b_{1} = \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{1} = \frac{1 + 3}{3}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $3$ .

$b_{1} = \frac{4}{3}$

Paso 5

Para calcular la segunda opción de cota, suma los valores absolutos de los coeficientes de la lista de coeficientes. Si la suma es mayor que $1$ , usa ese número. De lo contrario, usa $1$ .

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$b_{2} = \frac{1}{3} + | - \frac{1}{3} |$

Paso 5.1.2

$- \frac{1}{3}$ es aproximadamente $- 0.\overline{3}$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{1}{3}$ y elimina el valor absoluto.

$b_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{2} = \frac{1 + 1}{3}$

Paso 5.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$b_{2} = \frac{2}{3}$

Paso 5.3

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{2} = \frac{2}{3}, 1$

Paso 5.4

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{2} = 1$

Paso 6

Resta la opción de cota inferior entre $b_{1} = \frac{4}{3}$ y $b_{2} = 1$ .

Cota inferior: $1$

Paso 7

Cada raíz real en $f (x) = 9 x^{2} + 3 x - 3$ se encuentra entre $- 1$ y $1$ .

$- 1$ y $1$

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