Ejemplos

Obtener los vectores propios/el espacio propio
Paso 1
Obtén los valores propios.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica .
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Sustituye por .
Paso 1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 1.4.3
Simplifica cada elemento.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.1
Suma y .
Paso 1.4.3.2
Suma y .
Paso 1.5
Obtén el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.2
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.1
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.2.1.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.2.1.5.1
Mueve .
Paso 1.5.2.1.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.6
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.7
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.2
Resta de .
Paso 1.5.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2
Resta de .
Paso 1.5.2.3
Reordena y .
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a para obtener los valores propios .
Paso 1.7
Resuelve
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1
Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.
Paso 1.7.2
Sustituye los valores , y en la fórmula cuadrática y resuelve .
Paso 1.7.3
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.3.1.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.7.3.1.2.2
Multiplica por .
Paso 1.7.3.1.3
Suma y .
Paso 1.7.3.2
Multiplica por .
Paso 1.7.4
La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.
Paso 2
El vector propio es igual al espacio nulo de la matriz menos la cantidad de veces del valor propio de la matriz de identidades en donde es el espacio nulo y es la matriz de identidades.
Paso 3
Obtén el vector propio con el valor propio .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 3.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 3.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 3.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 3.2.3
Simplifica cada elemento.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.3.1
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 3.2.3.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.2.3.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.3.3.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 3.2.3.3.2
Multiplica por .
Paso 3.2.3.3.3
Resta de .
Paso 3.2.3.4
Reescribe como .
Paso 3.2.3.5
Factoriza de .
Paso 3.2.3.6
Factoriza de .
Paso 3.2.3.7
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3.2.3.8
Suma y .
Paso 3.2.3.9
Suma y .
Paso 3.2.3.10
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 3.2.3.11
Combina y .
Paso 3.2.3.12
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.2.3.13
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.3.13.1
Multiplica por .
Paso 3.2.3.13.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 3.2.3.13.3
Multiplica por .
Paso 3.2.3.13.4
Resta de .
Paso 3.3
Obtén el espacio nulo cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.1
Escribe como una matriz aumentada para .
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1
Multiplica cada elemento de por para hacer que la entrada en sea .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1.1
Multiplica cada elemento de por para hacer que la entrada en sea .
Paso 3.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.2
Realiza la operación de fila para hacer que la entrada en sea .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.2.1
Realiza la operación de fila para hacer que la entrada en sea .
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 3.3.3
Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.
Paso 3.3.4
Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.
Paso 3.3.5
Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.
Paso 3.3.6
Escribe como un conjunto de soluciones.
Paso 3.3.7
La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.
Paso 4
Obtén el vector propio con el valor propio .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 4.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 4.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 4.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 4.2.3
Simplifica cada elemento.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.1
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 4.2.3.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.2.3.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.3.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.2.3.3.2
Multiplica por .
Paso 4.2.3.3.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.3.3.1
Multiplica por .
Paso 4.2.3.3.3.2
Multiplica por .
Paso 4.2.3.3.4
Resta de .
Paso 4.2.3.4
Reescribe como .
Paso 4.2.3.5
Factoriza de .
Paso 4.2.3.6
Factoriza de .
Paso 4.2.3.7
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 4.2.3.8
Suma y .
Paso 4.2.3.9
Suma y .
Paso 4.2.3.10
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 4.2.3.11
Combina y .
Paso 4.2.3.12
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.2.3.13
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.13.1
Multiplica por .
Paso 4.2.3.13.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.2.3.13.3
Multiplica por .
Paso 4.2.3.13.4
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.13.4.1
Multiplica por .
Paso 4.2.3.13.4.2
Multiplica por .
Paso 4.2.3.13.5
Resta de .
Paso 4.3
Obtén el espacio nulo cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1
Escribe como una matriz aumentada para .
Paso 4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1
Multiplica cada elemento de por para hacer que la entrada en sea .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1.1
Multiplica cada elemento de por para hacer que la entrada en sea .
Paso 4.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.2
Realiza la operación de fila para hacer que la entrada en sea .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.2.1
Realiza la operación de fila para hacer que la entrada en sea .
Paso 4.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 4.3.3
Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.
Paso 4.3.4
Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.
Paso 4.3.5
Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.
Paso 4.3.6
Escribe como un conjunto de soluciones.
Paso 4.3.7
La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.
Paso 5
El espacio propio de es la lista del espacio vectorial para cada valor propio.
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