Ejemplos

B = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$B = [\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

3

$3$ es la matriz cuadrada

3 \times 3

$3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ I_{3} ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{3}

$I_{3}$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplifica cada elemento.

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Paso 4.3.1

Suma

$4$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

$3$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma

$1$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma

$2$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma

$- 1$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma

$0$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 5

Obtén el determinante.

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Paso 5.1

Elige la fila o columna con más elementos

$0$ . Si no hay elementos

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna

$2$ por su cofactor y suma.

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Paso 5.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 5.1.3

El elemento menor de

$a_{12}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiplica el elemento

$a_{12}$ por su cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

El elemento menor de

$a_{22}$ es la determinante con la fila

$2$ y la columna

$2$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiplica el elemento

$a_{22}$ por su cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

El elemento menor de

$a_{32}$ es la determinante con la fila

$3$ y la columna

$2$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiplica el elemento

$a_{32}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Suma los términos juntos.

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.2

Multiplica

$0$ por

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica

$- 1 - λ$ por

$1$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica

$- (- 1 \cdot 2)$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.2

Suma

$- 1$ y

$2$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4

Evalúa

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Expande

$(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.2.1.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.2

Multiplica

$- 1 (- λ)$ .

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Paso 5.4.2.1.2.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.2.2

Multiplica

$λ$ por

$1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.3

Multiplica

$- λ \cdot - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.2.1.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.3.2

Multiplica

$λ$ por

$1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.5

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.2.1.2.1.5.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.6

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.7

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.2

Suma

$λ$ y

$λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica

$- (- 1 \cdot 3)$ .

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Paso 5.4.2.1.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Paso 5.4.2.1.3.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Paso 5.4.2.2

Suma

$1$ y

$3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

Paso 5.4.2.3

Reordena

$2 λ$ y

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Suma

$- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ y

$0$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Paso 5.5.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Paso 5.5.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 4$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Paso 5.5.2.3

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Paso 5.5.2.4

Expande

$(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.5.1

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.2

Multiplica

$2 λ$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.3

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.4

Multiplica

$λ$ por

$λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.2.5.4.1

Mueve

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.4.2

Multiplica

$λ^{2}$ por

$λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.5.4.2.1

Eleva

$λ$ a la potencia de

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.4.2.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.4.3

Suma

$2$ y

$1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.6

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.5.6.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.6.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.7

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.8

Multiplica

$4$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

Paso 5.5.2.6

Resta

$2 λ^{2}$ de

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Paso 5.5.2.7

Resta

$4 λ$ de

$2 λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

Paso 5.5.3

Combina los términos opuestos en

$4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ .

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Paso 5.5.3.1

Suma

$- 4$ y

$4$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

Paso 5.5.3.2

Suma

$4 λ - λ^{2} - 2 λ$ y

$0$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

Paso 5.5.4

Resta

$2 λ$ de

$4 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

Paso 5.5.5

Mueve

$2 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

Paso 5.5.6

Reordena

$- λ^{2}$ y

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a

$0$ para obtener los valores propios

$λ$ .

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Paso 7

Resuelve

$λ$

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Factoriza

$- λ$ de

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza

$- λ$ de

$- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Paso 7.1.1.2

Factoriza

$- λ$ de

$- λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

Paso 7.1.1.3

Factoriza

$- λ$ de

$2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

Paso 7.1.1.4

Factoriza

$- λ$ de

$- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ .

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Paso 7.1.1.5

Factoriza

$- λ$ de

$- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ .

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza

$λ^{2} + λ - 2$ con el método AC.

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Paso 7.1.2.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

$c$ y cuya suma sea

$b$ . En este caso, cuyo producto es

$- 2$ y cuya suma es

$1$ .

$- 1, 2$

Paso 7.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

Paso 7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

$0$ , la expresión completa será igual a

$0$ .

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

Paso 7.3

Establece

$λ$ igual a

$0$ .

$λ = 0$

Paso 7.4

Establece

$λ - 1$ igual a

$0$ y resuelve

$λ$ .

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Paso 7.4.1

Establece

$λ - 1$ igual a

$0$ .

$λ - 1 = 0$

Paso 7.4.2

Suma

$1$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 1$

Paso 7.5

Establece

$λ + 2$ igual a

$0$ y resuelve

$λ$ .

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Paso 7.5.1

Establece

$λ + 2$ igual a

$0$ .

$λ + 2 = 0$

Paso 7.5.2

Resta

$2$ de ambos lados de la ecuación.

$λ = - 2$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ verdadera.

$λ = 0, 1, - 2$

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