Ejemplos

[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

2

$2$ es la matriz cuadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye

[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplifica cada elemento.

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Paso 4.3.1

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

4

$4$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Resta

λ

$λ$ de

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

Paso 5

Obtén el determinante.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = (2 - λ) (- λ) - 4 \cdot 1$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = 2 (- λ) - λ (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = 2 (- λ) - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

p (λ) = - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Paso 5.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1$

Paso 5.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.4.1

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.4.1.1

Mueve

λ

$λ$ .

p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1$

Paso 5.2.1.4.1.2

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 5.2.1.4.3

Multiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1$

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 5.2.1.5

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4$

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4$

Paso 5.2.2

Reordena

- 2 λ

$- 2 λ$ y

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

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