Ejemplos

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

Paso 1

Suma

5

$5$ a ambos lados de la ecuación.

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

Paso 2

Completa el cuadrado de

3 x^{2} - 6 x

$3 x^{2} - 6 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 3

$a = 3$

b = - 6

$b = - 6$

c = 0

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de

- 6

$- 6$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

- 6

$- 6$ .

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ .

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de

- 3

$- 3$ y

3

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Factoriza

3

$3$ de

- 3

$- 3$ .

d = \frac{3 \cdot - 1}{3}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza

3

$3$ de

3

$3$ .

d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

d = \frac{- 1}{1}

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Eleva

- 6

$- 6$ a la potencia de

2

$2$ .

e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica

4

$4$ por

3

$3$ .

e = 0 - \frac{36}{12}

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide

36

$36$ por

12

$12$ .

e = 0 - 1 \cdot 3

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

3

$3$ .

e = 0 - 3

$e = 0 - 3$

e = 0 - 3

$e = 0 - 3$

Paso 2.4.2.2

Resta

3

$3$ de

0

$0$ .

e = - 3

$e = - 3$

e = - 3

$e = - 3$

e = - 3

$e = - 3$

Paso 2.5

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

Paso 3

Sustituye

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ por

3 x^{2} - 6 x

$3 x^{2} - 6 x$ en la ecuación

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

Paso 4

Mueve

- 3

$- 3$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

3

$3$ a ambos lados.

3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

Paso 5

Completa el cuadrado de

4 y^{2} + 8 y

$4 y^{2} + 8 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = 8

$b = 8$

c = 0

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de

8

$8$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

8

$8$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de

4

$4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

Paso 5.4

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Eleva

8

$8$ a la potencia de

2

$2$ .

e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica

4

$4$ por

4

$4$ .

e = 0 - \frac{64}{16}

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide

64

$64$ por

16

$16$ .

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

Paso 5.4.2.2

Resta

4

$4$ de

0

$0$ .

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

Paso 5.5

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ .

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

Paso 6

Sustituye

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ por

4 y^{2} + 8 y

$4 y^{2} + 8 y$ en la ecuación

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

Paso 7

Mueve

- 4

$- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

4

$4$ a ambos lados.

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

Paso 8

Simplifica

5 + 3 + 4

$5 + 3 + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Suma

5

$5$ y

3

$3$ .

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

Paso 8.2

Suma

8

$8$ y

4

$4$ .

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

Paso 9

Divide cada término por

12

$12$ para que el lado derecho sea igual a uno.

\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

1

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

1

$1$ .

\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

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