Ejemplos

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 98 = 0$

Paso 1

Suma $98$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Paso 3

Sustituye ${(x + 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} + 2 x$ en la ecuación $x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 - 9 y^{2} - 54 y = 98$

Paso 4

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} - 54 y = 98 + 1$

Paso 5

Completa el cuadrado de $- 9 y^{2} - 54 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 54$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (- 9)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 27}{- 9}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 27$ y $- 9$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $- 9$ de $- 27$ .

$d = \frac{- 9 (3)}{- 9}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza $- 9$ de $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $- 54$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $2916$ por $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Paso 5.4.2.2

Suma $0$ y $81$ .

$e = 81$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$

Paso 6

Sustituye $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ por $- 9 y^{2} - 54 y$ en la ecuación $x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} + 81 = 98 + 1$

Paso 7

Mueve $81$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $81$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 98 + 1 - 81$

Paso 8

Simplifica $98 + 1 - 81$ .

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Paso 8.1

Suma $98$ y $1$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 99 - 81$

Paso 8.2

Resta $81$ de $99$ .

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 18$

Paso 9

Divide cada término por $18$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{18} - \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{18} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{2} = 1$

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