Ejemplos

f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Paso 1

Escribe

f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$ como una ecuación.

y = 7 x^{2} + 5 x - 4

$y = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Paso 2

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1

Completa el cuadrado de

7 x^{2} + 5 x - 4

$7 x^{2} + 5 x - 4$ .

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Paso 2.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 7

$a = 7$

b = 5

$b = 5$

c = - 4

$c = - 4$

Paso 2.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{5}{2 \cdot 7}

$d = \frac{5}{2 \cdot 7}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica

2

$2$ por

7

$7$ .

d = \frac{5}{14}

$d = \frac{5}{14}$

d = \frac{5}{14}

$d = \frac{5}{14}$

Paso 2.1.4

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.4.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}

$e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}$

Paso 2.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.4.2.1.1

Eleva

5

$5$ a la potencia de

2

$2$ .

e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}$

Paso 2.1.4.2.1.2

Multiplica

4

$4$ por

7

$7$ .

e = - 4 - \frac{25}{28}

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

e = - 4 - \frac{25}{28}

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

Paso 2.1.4.2.2

Para escribir

- 4

$- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{28}{28}

$\frac{28}{28}$ .

e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}

$e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}$

Paso 2.1.4.2.3

Combina

- 4

$- 4$ y

\frac{28}{28}

$\frac{28}{28}$ .

e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}

$e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}$

Paso 2.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}

$e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}$

Paso 2.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.4.2.5.1

Multiplica

- 4

$- 4$ por

28

$28$ .

e = \frac{- 112 - 25}{28}

$e = \frac{- 112 - 25}{28}$

Paso 2.1.4.2.5.2

Resta

25

$25$ de

- 112

$- 112$ .

e = \frac{- 137}{28}

$e = \frac{- 137}{28}$

e = \frac{- 137}{28}

$e = \frac{- 137}{28}$

Paso 2.1.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

e = - \frac{137}{28}

$e = - \frac{137}{28}$

Paso 2.1.5

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$ .

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Paso 2.2

Establece

y

$y$ igual al nuevo lado derecho.

y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Paso 3

Usa la forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

a

$a$ ,

h

$h$ y

k

$k$ .

a = 7

$a = 7$

h = - \frac{5}{14}

$h = - \frac{5}{14}$

k = - \frac{137}{28}

$k = - \frac{137}{28}$

Paso 4

Como el valor de

a

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 5

Obtén el vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Paso 6

Obtén

p

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 6.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Paso 6.2

Sustituye el valor de

a

$a$ en la fórmula.

\frac{1}{4 \cdot 7}

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

Paso 6.3

Multiplica

4

$4$ por

7

$7$ .

\frac{1}{28}

$\frac{1}{28}$

\frac{1}{28}

$\frac{1}{28}$

Paso 7

Obtén el foco.

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Paso 7.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

p

$p$ a la coordenada y

k

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Paso 8

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

x = - \frac{5}{14}

$x = - \frac{5}{14}$

Paso 9

Obtén la directriz.

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Paso 9.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

p

$p$ de la coordenada y

k

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

y = k - p

$y = k - p$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos de

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

Paso 10

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Foco:

(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Eje de simetría:

x = - \frac{5}{14}

$x = - \frac{5}{14}$

Directriz:

y = - \frac{69}{14}

$y = - \frac{69}{14}$

Paso 11

Ingresa TU problema