Ejemplos

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

Paso 1

Escribe $f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ como una ecuación.

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

Paso 2

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1

Completa el cuadrado de $- x^{2} - 5 x - 5$ .

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Paso 2.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = - 5$

Paso 2.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 2.1.3.2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{5}{2}$

Paso 2.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.4.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

Paso 2.1.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

Paso 2.1.4.2.1.4

Multiplica $- - \frac{25}{4}$ .

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Paso 2.1.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

Paso 2.1.4.2.1.4.2

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $1$ .

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

Paso 2.1.4.2.2

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 2.1.4.2.3

Combina $- 5$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 2.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

Paso 2.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.4.2.5.1

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

Paso 2.1.4.2.5.2

Suma $- 20$ y $25$ .

$e = \frac{5}{4}$

Paso 2.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Paso 2.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Paso 3

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{5}{4}$

Paso 4

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 5

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Paso 6

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 6.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 6.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 6.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 6.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 7

Obtén el foco.

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Paso 7.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Paso 8

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 9

Obtén la directriz.

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Paso 9.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{3}{2}$

Paso 10

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, 1)$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{2}$

Directriz: $y = \frac{3}{2}$

Paso 11

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