Álgebra lineal Ejemplos

a = [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ ,

b = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Obtén el producto escalar.

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Paso 1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica

1

$1$ por

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Paso 1.2.1.2

Multiplica

0

$0$ por

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Paso 1.2.1.3

Multiplica

3

$3$ por

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Paso 1.2.2

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Paso 1.2.3

Suma

1

$1$ y

3

$3$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Paso 2

Obtén la norma de

a⃗ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Paso 2.2.2

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Paso 2.2.3

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Paso 2.2.4

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Paso 2.2.5

Suma

1

$1$ y

9

$9$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Paso 3

Obtén la proyección de

b⃗

$b⃗$ en

a⃗

$a⃗$ usando la fórmula de proyección.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Paso 4

Sustituye

4

$4$ por

b⃗ \cdot a⃗

$b⃗ \cdot a⃗$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Paso 5

Sustituye

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ por

| | a⃗ | |

$| | a⃗ | |$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Paso 6

Sustituye

[\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ por

a⃗

$a⃗$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Reescribe

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ como

10

$10$ .

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Paso 7.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ como

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 7.1.4.1

Cancela el factor común.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.4.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.5

Evalúa el exponente.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.2

Cancela el factor común de

$4$ y

$10$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica

$\frac{2}{5}$ por cada elemento de la matriz.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 7.4

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.4.1

Multiplica

$\frac{2}{5}$ por

$1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 7.4.2

Multiplica

$\frac{2}{5}$ por

$0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 7.4.3

Multiplica

$\frac{2}{5} \cdot 3$ .

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Paso 7.4.3.1

Combina

$\frac{2}{5}$ y

$3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Paso 7.4.3.2

Multiplica

$2$ por

$3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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