Álgebra lineal Ejemplos

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Obtén el producto escalar.

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Paso 1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Paso 1.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Paso 1.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Paso 2

Obtén la norma de $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Paso 2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Paso 2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Paso 2.2.4

Suma $1$ y $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $9$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Paso 3

Obtén la proyección de $b⃗$ en $a⃗$ usando la fórmula de proyección.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Paso 4

Sustituye $4$ por $b⃗ \cdot a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Paso 5

Sustituye $\sqrt{10}$ por $| | a⃗ | |$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Paso 6

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ por $a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.4.1

Cancela el factor común.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.4.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.1.5

Evalúa el exponente.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{2}{5}$ por cada elemento de la matriz.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 7.4

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 7.4.2

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 7.4.3

Multiplica $\frac{2}{5} \cdot 3$ .

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Paso 7.4.3.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Paso 7.4.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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