Álgebra lineal Ejemplos

a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ ,

b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Obtén el producto escalar.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Paso 1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Paso 1.2.1.2

Multiplica

3

$3$ por

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Paso 1.2.2

Suma

2

$2$ y

6

$6$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Paso 1.2.3

Suma

8

$8$ y

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Paso 2

Obtén la norma de

b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

$b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.2.2

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Paso 2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Paso 2.2.4

Suma

1

$1$ y

4

$4$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Paso 2.2.5

Suma

5

$5$ y

1

$1$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Paso 3

Obtén la proyección de

a⃗

$a⃗$ en

b⃗

$b⃗$ usando la fórmula de proyección.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Paso 4

Sustituye

10

$10$ por

a⃗ \cdot b⃗

$a⃗ \cdot b⃗$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Paso 5

Sustituye

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ por

| | b⃗ | |

$| | b⃗ | |$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Paso 6

Sustituye

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ por

b⃗

$b⃗$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reescribe

{\sqrt{6}}^{2}

${\sqrt{6}}^{2}$ como

6

$6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ como

6^{\frac{1}{2}}

$6^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.1

Cancela el factor común.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.4.2

Reescribe la expresión.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.5

Evalúa el exponente.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.2

Cancela el factor común de

10

$10$ y

6

$6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Factoriza

2

$2$ de

10

$10$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Factoriza

2

$2$ de

6

$6$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ por cada elemento de la matriz.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Multiplica

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ por

1

$1$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4.2

Multiplica

\frac{5}{3} \cdot 2

$\frac{5}{3} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1

Combina

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ y

2

$2$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4.2.2

Multiplica

5

$5$ por

2

$2$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4.3

Multiplica

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ por

1

$1$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

Ingresa TU problema