Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

Paso 1

La distancia entre dos vectores

$u⃗$ y

$v⃗$ en

$ℂ^{n}$ se define como

$| | u⃗ - v⃗ | |$ , que es la norma euclidiana de la diferencia

$u⃗ - v⃗$ .

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

Paso 2

Obtén la norma de la diferencia de

$u⃗ - v⃗$ , donde

$u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ y

$v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Crea un vector de la diferencia.

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

Paso 2.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta

$0$ de

$2 i - 3$ .

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.2

Reorganiza los términos.

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.3

Usa la fórmula

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.4

Eleva

$- 3$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.5

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.6

Suma

$9$ y

$4$ .

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7

Reescribe

${\sqrt{13}}^{2}$ como

$13$ .

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Paso 2.3.7.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{13}$ como

$13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 2.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.8

Resta

$1$ de

$0$ .

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.9

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

Paso 2.3.10.2

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

Paso 2.3.10.3

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

Paso 2.3.10.4

Multiplica

$i$ por

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

Paso 2.3.11

Resta

$2$ de

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

Paso 2.3.12

Suma

$0$ y

$i$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

Paso 2.3.13

Usa la fórmula

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

Paso 2.3.14

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

Paso 2.3.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

Paso 2.3.16

Suma

$0$ y

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

Paso 2.3.17

Cualquier raíz de

$1$ es

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

Paso 2.3.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

Paso 2.3.19

Suma

$13$ y

$1$ .

$\sqrt{14 + 1}$

Paso 2.3.20

Suma

$14$ y

$1$ .

$\sqrt{15}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{15}$

Forma decimal:

$3.87298334 \dots$

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