Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 1 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \times ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 - 3 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

Paso 1

Se puede escribir el producto vectorial de dos vectores

a⃗

$a⃗$ y

b⃗

$b⃗$ como determinante con los vectores de unidad estándar

$ℝ^{3}$ y los elementos de los vectores dados.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Paso 2

Establece el determinante con los valores dados.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 3

Elige la fila o columna con más elementos

$0$ . Si no hay elementos

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

$1$ por su cofactor y suma.

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Paso 3.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 3.3

El elemento menor de

$a_{11}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$1$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 3.4

Multiplica el elemento

$a_{11}$ por su cofactor.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î$

Paso 3.5

El elemento menor de

$a_{12}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Paso 3.6

Multiplica el elemento

$a_{12}$ por su cofactor.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ$

Paso 3.7

El elemento menor de

$a_{13}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$

Paso 3.8

Multiplica el elemento

$a_{13}$ por su cofactor.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 3.9

Suma los términos juntos.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 4

Evalúa

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$(- 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 4.2.1.2

Multiplica

$- (- 3 \cdot 1)$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$(- 1 - - 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 3$ .

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 4.2.2

Suma

$- 1$ y

$3$ .

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 5

Evalúa

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 5.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$2 î - (2 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 5.2.1.2

Multiplica

$- 5$ por

$1$ .

$2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 5.2.2

Resta

$5$ de

$2$ .

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Paso 6

Evalúa

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$ .

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Paso 6.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - - 3 ĵ + (2 \cdot - 3 - 5 \cdot - 1) k̂$

Paso 6.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica

$2$ por

$- 3$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 - 5 \cdot - 1) k̂$

Paso 6.2.1.2

Multiplica

$- 5$ por

$- 1$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂$

Paso 6.2.2

Suma

$- 6$ y

$5$ .

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

Paso 7

Multiplica

$- 1$ por

$- 3$ .

$2 î + 3 ĵ - k̂$

Paso 8

Reescribe la respuesta.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}]$

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