Álgebra lineal Ejemplos

(1, - 2)

$(1, - 2)$ ,

(- 2, 1)

$(- 2, 1)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto escalar para obtener el ángulo entre dos vectores.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto escalar.

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Paso 2.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

Paso 2.2.2

Resta

2

$2$ de

- 2

$- 2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

Paso 3

Obtén la magnitud de

a⃗

$a⃗$ .

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Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva

- 2

$- 2$ a la potencia de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Paso 3.2.3

Suma

1

$1$ y

4

$4$ .

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 4

Obtén la magnitud de

b⃗

$b⃗$ .

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Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva

- 2

$- 2$ a la potencia de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Paso 4.2.3

Suma

4

$4$ y

1

$1$ .

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

θ = arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Eleva

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ a la potencia de

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Paso 6.1.2

Eleva

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ a la potencia de

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Paso 6.1.3

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 6.1.4

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 6.2

Reescribe

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ como

5

$5$ .

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Paso 6.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ como

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.2.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

Paso 6.2.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

Paso 6.4

Evalúa

$\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

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