Álgebra lineal Ejemplos

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto vectorial para obtener el ángulo entre dos vectores.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto vectorial.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Se puede escribir el producto vectorial de dos vectores $a⃗$ y $b⃗$ como determinante con los vectores de unidad estándar $ℝ^{3}$ y los elementos de los vectores dados.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Paso 2.2

Establece el determinante con los valores dados.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 2.3.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 2.3.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Paso 2.3.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Paso 2.3.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Paso 2.3.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.3.9

Suma los términos juntos.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2.2

Resta $6$ de $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $0$ por $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.6

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Paso 2.6.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Paso 2.6.2.1.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Paso 2.6.2.2

Suma $3$ y $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Paso 2.8

Reescribe la respuesta.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Paso 3

Obtén la magnitud del producto vectorial.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Paso 3.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Paso 3.2.4

Suma $49$ y $1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Paso 3.2.5

Suma $50$ y $9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Paso 4.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Paso 4.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Paso 4.2.5

Suma $2$ y $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Paso 5

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Paso 5.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Paso 5.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Paso 5.2.4

Suma $0$ y $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Paso 5.2.5

Suma $9$ y $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Paso 6

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Paso 7.1.2

Multiplica $6$ por $10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Paso 7.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Paso 7.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Paso 7.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Paso 7.4.2

Mueve $\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Paso 7.4.3

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Paso 7.4.4

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Paso 7.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Paso 7.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Paso 7.4.7

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 7.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 7.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Paso 7.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Paso 7.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Paso 7.4.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Paso 7.5.2

Multiplica $59$ por $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Paso 7.6

Multiplica $2$ por $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Paso 7.7

Evalúa $\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

Ingresa TU problema