Álgebra lineal Ejemplos

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto vectorial para obtener el ángulo entre dos vectores.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto vectorial.

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Paso 2.1

Se puede escribir el producto vectorial de dos vectores $a⃗$ y $b⃗$ como determinante con los vectores de unidad estándar $ℝ^{3}$ y los elementos de los vectores dados.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Paso 2.2

Establece el determinante con los valores dados.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 2.3.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 2.3.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 2.3.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

Paso 2.3.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

Paso 2.3.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.3.9

Suma los términos juntos.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $0$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Paso 2.5.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Paso 2.6

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.6.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Paso 2.6.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Paso 2.6.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 0)$ .

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Paso 2.6.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

Paso 2.6.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

Paso 2.6.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

Paso 2.8

Reescribe la respuesta.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

Paso 3

Obtén la magnitud del producto vectorial.

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Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

Paso 3.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

Paso 3.2.4

Suma $1$ y $16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

Paso 3.2.5

Suma $17$ y $4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

Paso 4.2.4

Suma $4$ y $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Paso 4.2.5

Suma $4$ y $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 5

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 5.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 5.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

Paso 5.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

Paso 5.2.4

Suma $4$ y $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

Paso 5.2.5

Suma $5$ y $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

Paso 6

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\sqrt{21}$ y $\sqrt{6}$ en un solo radical.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $21$ y $6$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{7}{2}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.4.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

Paso 7.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Paso 7.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 7.6.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Paso 7.6.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Paso 7.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 7.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 7.6.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 7.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 7.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 7.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 7.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 7.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Paso 7.6.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

Paso 7.7

Multiplica $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Paso 7.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{14}}{2}$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

Paso 7.7.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

Paso 7.7.3

Multiplica $14$ por $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

Paso 7.7.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

Paso 7.8

Evalúa $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

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