Álgebra lineal Ejemplos

(1, - 1, 2)

$(1, - 1, 2)$ ,

(0, 3, 1)

$(0, 3, 1)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto vectorial para obtener el ángulo entre dos vectores.

θ = arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto vectorial.

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Paso 2.1

Se puede escribir el producto vectorial de dos vectores

a⃗

$a⃗$ y

b⃗

$b⃗$ como determinante con los vectores de unidad estándar

$ℝ^{3}$ y los elementos de los vectores dados.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Paso 2.2

Establece el determinante con los valores dados.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3

Elige la fila o columna con más elementos

$0$ . Si no hay elementos

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

$1$ por su cofactor y suma.

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Paso 2.3.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 2.3.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 2.3.3

El elemento menor de

$a_{11}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$1$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3.4

Multiplica el elemento

$a_{11}$ por su cofactor.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Paso 2.3.5

El elemento menor de

$a_{12}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3.6

Multiplica el elemento

$a_{12}$ por su cofactor.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Paso 2.3.7

El elemento menor de

$a_{13}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Paso 2.3.8

Multiplica el elemento

$a_{13}$ por su cofactor.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.3.9

Suma los términos juntos.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.4

Evalúa

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica

$- 3$ por

$2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.4.2.2

Resta

$6$ de

$- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.5

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.5.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica

$1$ por

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica

$0$ por

$2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.5.2.2

Suma

$1$ y

$0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Paso 2.6

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

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Paso 2.6.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Paso 2.6.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.1.1

Multiplica

$3$ por

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Paso 2.6.2.1.2

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Paso 2.6.2.2

Suma

$3$ y

$0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Paso 2.7

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Paso 2.8

Reescribe la respuesta.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Paso 3

Obtén la magnitud del producto vectorial.

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Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva

$- 7$ a la potencia de

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Paso 3.2.3

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Paso 3.2.4

Suma

$49$ y

$1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Paso 3.2.5

Suma

$50$ y

$9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Paso 4

Obtén la magnitud de

$a⃗$ .

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Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Paso 4.2.3

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Paso 4.2.4

Suma

$1$ y

$1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Paso 4.2.5

Suma

$2$ y

$4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Paso 5

Obtén la magnitud de

$b⃗$ .

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Paso 5.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Paso 5.2.2

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Paso 5.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Paso 5.2.4

Suma

$0$ y

$9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Paso 5.2.5

Suma

$9$ y

$1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Paso 6

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Paso 7.1.2

Multiplica

$6$ por

$10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Reescribe

$60$ como

$2^{2} \cdot 15$ .

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Paso 7.2.1.1

Factoriza

$4$ de

$60$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Paso 7.2.1.2

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Paso 7.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Paso 7.3

Multiplica

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ por

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Paso 7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1

Multiplica

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ por

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Paso 7.4.2

Mueve

$\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Paso 7.4.3

Eleva

$\sqrt{15}$ a la potencia de

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Paso 7.4.4

Eleva

$\sqrt{15}$ a la potencia de

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Paso 7.4.5

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Paso 7.4.6

Suma

$1$ y

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Paso 7.4.7

Reescribe

${\sqrt{15}}^{2}$ como

$15$ .

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Paso 7.4.7.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{15}$ como

$15^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 7.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 7.4.7.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Paso 7.4.7.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 7.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Paso 7.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Paso 7.4.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Paso 7.5.2

Multiplica

$59$ por

$15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Paso 7.6

Multiplica

$2$ por

$15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Paso 7.7

Evalúa

$\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

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