Álgebra lineal Ejemplos

S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Paso 1

Asigna un nombre a cada vector.

{u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

{u⃗}_{2} = (0, 1, 1)

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Paso 2

El primer vector ortogonal es el primer vector del conjunto dado de vectores.

{v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Paso 3

Usa la fórmula para hallar los demás vectores ortogonales.

{v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - k - 1 \sum i = 1 {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Paso 4

Obtén el vector ortogonal

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ .

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Paso 4.1

Usa la fórmula para obtener

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ .

{v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Paso 4.2

Sustituye

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ por

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ .

{v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Paso 4.3

Obtén

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

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Paso 4.3.1

Obtén el producto escalar.

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Paso 4.3.1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2

Simplifica.

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Paso 4.3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1

Multiplica

0

$0$ por

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2.1.2

Multiplica

1

$1$ por

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2.1.3

Multiplica

1

$1$ por

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Paso 4.3.1.2.2

Suma

0

$0$ y

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Paso 4.3.1.2.3

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Paso 4.3.2

Obtén la norma de

{v⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Paso 4.3.2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Paso 4.3.2.2.4

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Paso 4.3.2.2.5

Suma

2

$2$ y

1

$1$ .

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Paso 4.3.3

Obtén la proyección de

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ en

{v⃗}_{1}

${v⃗}_{1}$ usando la fórmula de proyección.

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.4

Sustituye

2

$2$ por

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.5

Sustituye

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ por

| | {v⃗}_{1} | |

$| | {v⃗}_{1} | |$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.6

Sustituye

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ por

{v⃗}_{1}

${v⃗}_{1}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.7.1

Reescribe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

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Paso 4.3.7.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 4.3.7.1.4.1

Cancela el factor común.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.4.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.5

Evalúa el exponente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.2

Multiplica

$\frac{2}{3}$ por cada elemento de la matriz.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.3.7.3.1

Multiplica

$\frac{2}{3}$ por

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3.2

Multiplica

$\frac{2}{3}$ por

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3.3

Multiplica

$\frac{2}{3}$ por

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 4.4

Sustituye la proyección.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Combina cada componente de los vectores.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.2

Resta

$\frac{2}{3}$ de

$0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.3

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.5

Resta

$2$ de

$3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.6

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 4.5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Paso 4.5.8

Resta

$2$ de

$3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5

Obtén la base ortonormal dividiendo cada vector ortogonal por su norma.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Paso 6

Obtén el vector unitario de

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , donde

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Paso 6.1

Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector

$v⃗$ , divídelo por la norma de

$v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Paso 6.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 6.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Paso 6.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Paso 6.3.4

Suma

$1$ y

$1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Paso 6.3.5

Suma

$2$ y

$1$ .

$\sqrt{3}$

Paso 6.4

Divide el vector por su norma.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Paso 6.5

Divide cada elemento del vector por

$\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Paso 7

Obtén el vector unitario de

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , donde

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Paso 7.1

Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector

$v⃗$ , divídelo por la norma de

$v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Paso 7.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Usa la regla de la potencia

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.3.1.1

Aplica la regla del producto a

$- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.1.2

Aplica la regla del producto a

$\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.3

Multiplica

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por

$1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.4

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.5

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.6

Aplica la regla del producto a

$\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.8

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.9

Aplica la regla del producto a

$\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Paso 7.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Paso 7.3.11

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 7.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 7.3.13

Suma

$4$ y

$1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 7.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Paso 7.3.15

Suma

$5$ y

$1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Paso 7.3.16

Cancela el factor común de

$6$ y

$9$ .

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Paso 7.3.16.1

Factoriza

$3$ de

$6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Paso 7.3.16.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.16.2.1

Factoriza

$3$ de

$9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 7.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 7.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Paso 7.3.17

Reescribe

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ como

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.4

Divide el vector por su norma.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Paso 7.5

Divide cada elemento del vector por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.2

Multiplica

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.3

Mueve

$2$ a la izquierda de

$\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.4

Mueve

$3$ a la izquierda de

$\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.6

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Paso 7.6.8

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Paso 8

Sustituye los valores conocidos.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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