Álgebra lineal Ejemplos

S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$ ,

v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Paso 1

S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$

v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Asigna el nombre

S

$S$ al conjunto y el nombre

v

$v$ al vector.

Paso 2

Establece una relación lineal para ver si hay una solución no trivial para el sistema.

a [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.1

Escribe los vectores como una matriz.

[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 3.2

Escribe como una matriz aumentada para

A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]

$A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

Paso 3.3

Realiza la operación de fila

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en

2, 1

$2, 1$ sea

0

$0$ .

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Paso 3.3.1

Realiza la operación de fila

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en

2, 1

$2, 1$ sea

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 3 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 3 + 1 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{array}]$

Paso 3.4

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 3.4.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 3.5

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

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Paso 3.5.1

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 2 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 2 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 3.5.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 4

Como el sistema resultante es consistente, el vector es un elemento del conjunto.

v \in ⟨ S ⟩

$v \in ⟨ S ⟩$

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