Álgebra lineal Ejemplos

5 x - y = - 2

$5 x - y = - 2$ ,

3 x - 4 y = 0

$3 x - 4 y = 0$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$

Paso 2

Obtén el determinante de la matriz coeficiente

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Escribe

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ en la notación determinante.

| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1

$5 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica

5

$5$ por

- 4

$- 4$ .

- 20 - 3 \cdot - 1

$- 20 - 3 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2

Multiplica

- 3

$- 3$ por

- 1

$- 1$ .

- 20 + 3

$- 20 + 3$

- 20 + 3

$- 20 + 3$

Paso 2.3.2

Suma

- 20

$- 20$ y

3

$3$ .

- 17

$- 17$

- 17

$- 17$

D = - 17

$D = - 17$

Paso 3

Como el determinante no es

0

$0$ , se puede resolver el sistema con la regla de Cramer.

Paso 4

Obtén el valor de

x

$x$ con la regla de Cramer, que establece que

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la columna

1

$1$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de

x

$x$ del sistema con

[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 0 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Paso 4.2

Obtén el determinante.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 2 \cdot - 4 + 0 \cdot - 1

$- 2 \cdot - 4 + 0 \cdot - 1$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica

- 2

$- 2$ por

- 4

$- 4$ .

8 + 0 \cdot - 1

$8 + 0 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

8 + 0

$8 + 0$

8 + 0

$8 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma

8

$8$ y

0

$0$ .

8

$8$

8

$8$

D_{x} = 8

$D_{x} = 8$

Paso 4.3

Usa la fórmula para resolver

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Sustituye

- 17

$- 17$ por

D

$D$ y

8

$8$ por

D_{x}

$D_{x}$ en la fórmula.

x = \frac{8}{- 17}

$x = \frac{8}{- 17}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

Paso 5

Obtén el valor de

y

$y$ con la regla de Cramer, que establece que

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la columna

2

$2$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de

y

$y$ del sistema con

[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Paso 5.2

Obtén el determinante.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot 0 - 3 \cdot - 2

$5 \cdot 0 - 3 \cdot - 2$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Multiplica

5

$5$ por

0

$0$ .

0 - 3 \cdot - 2

$0 - 3 \cdot - 2$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica

- 3

$- 3$ por

- 2

$- 2$ .

0 + 6

$0 + 6$

0 + 6

$0 + 6$

Paso 5.2.2.2

Suma

0

$0$ y

6

$6$ .

6

$6$

6

$6$

D_{y} = 6

$D_{y} = 6$

Paso 5.3

Usa la fórmula para resolver

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Sustituye

- 17

$- 17$ por

D

$D$ y

6

$6$ por

D_{y}

$D_{y}$ en la fórmula.

y = \frac{6}{- 17}

$y = \frac{6}{- 17}$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

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