Álgebra lineal Ejemplos

$5 x - y = - 2$ , $3 x - 4 y = 0$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$

Paso 2

Obtén el determinante de la matriz coeficiente $[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Escribe $[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ en la notación determinante.

$| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$- 20 - 3 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 20 + 3$

Paso 2.3.2

Suma $- 20$ y $3$ .

$- 17$

$D = - 17$

Paso 3

Como el determinante no es $0$ , se puede resolver el sistema con la regla de Cramer.

Paso 4

Obtén el valor de $x$ con la regla de Cramer, que establece que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la columna $1$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $x$ del sistema con $[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Paso 4.2

Obtén el determinante.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot - 4 + 0 \cdot - 1$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$8 + 0 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$8 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $8$ y $0$ .

$8$

$D_{x} = 8$

Paso 4.3

Usa la fórmula para resolver $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Sustituye $- 17$ por $D$ y $8$ por $D_{x}$ en la fórmula.

$x = \frac{8}{- 17}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8}{17}$

Paso 5

Obtén el valor de $y$ con la regla de Cramer, que establece que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la columna $2$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $y$ del sistema con $[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Paso 5.2

Obtén el determinante.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 0 - 3 \cdot - 2$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$0 - 3 \cdot - 2$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$0 + 6$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$6$

$D_{y} = 6$

Paso 5.3

Usa la fórmula para resolver $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Sustituye $- 17$ por $D$ y $6$ por $D_{y}$ en la fórmula.

$y = \frac{6}{- 17}$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{6}{17}$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = - \frac{8}{17}$

$y = - \frac{6}{17}$

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