Álgebra lineal Ejemplos

$- x + 7 y = 35$ , $3 x - 4 y = - 5$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$

Paso 2

Obtén el determinante de la matriz coeficiente $[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Escribe $[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ en la notación determinante.

$| \begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- - 4 - 3 \cdot 7$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$4 - 3 \cdot 7$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$4 - 21$

Paso 2.3.2

Resta $21$ de $4$ .

$- 17$

$D = - 17$

Paso 3

Como el determinante no es $0$ , se puede resolver el sistema con la regla de Cramer.

Paso 4

Obtén el valor de $x$ con la regla de Cramer, que establece que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la columna $1$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $x$ del sistema con $[\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 35 & 7 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 4.2

Obtén el determinante.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$35 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 7)$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $35$ por $- 4$ .

$- 140 - (- 5 \cdot 7)$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot 7)$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$- 140 - - 35$

Paso 4.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 35$ .

$- 140 + 35$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 140$ y $35$ .

$- 105$

$D_{x} = - 105$

Paso 4.3

Usa la fórmula para resolver $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Sustituye $- 17$ por $D$ y $- 105$ por $D_{x}$ en la fórmula.

$x = \frac{- 105}{- 17}$

Paso 4.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{105}{17}$

Paso 5

Obtén el valor de $y$ con la regla de Cramer, que establece que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la columna $2$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $y$ del sistema con $[\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 35 \\ 3 & - 5 \end{array} |$

Paso 5.2

Obtén el determinante.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- - 5 - 3 \cdot 35$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$5 - 3 \cdot 35$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $35$ .

$5 - 105$

Paso 5.2.2.2

Resta $105$ de $5$ .

$- 100$

$D_{y} = - 100$

Paso 5.3

Usa la fórmula para resolver $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Sustituye $- 17$ por $D$ y $- 100$ por $D_{y}$ en la fórmula.

$y = \frac{- 100}{- 17}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{100}{17}$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{105}{17}$

$y = \frac{100}{17}$

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