Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} 2 & 3 4 & 7 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica

[\begin{matrix} 2 & 3 4 & 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es

2 \times 2

$2 \times 2$ y la segunda matriz es

2 \times 1

$2 \times 1$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

[\begin{matrix} 2 x + 3 y 4 x + 7 y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 2 x + 3 y 4 x + 7 y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 2

Escribe como un sistema de ecuaciones lineales

2 x + 3 y = 1

$2 x + 3 y = 1$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve

x

$x$ en

2 x + 3 y = 1

$2 x + 3 y = 1$ .

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Paso 3.1.1

Resta

3 y

$3 y$ de ambos lados de la ecuación.

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

Paso 3.1.2

Divide cada término en

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$ por

2

$2$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$ por

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de

$x$ por

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de

$x$ en

$4 x + 7 y = 1$ por

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica

$4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$2 (2) (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{3 y}{2}$ al numerador.

$2 + 4 (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.3.2

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$2 + 2 (2) (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$2 + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 y}{2})) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.4

Multiplica

$- 3$ por

$2$ .

$2 - 6 y + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 - 6 y + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Suma

$- 6 y$ y

$7 y$ .

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan

$y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta

$2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 1 - 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.3.2

Resta

$2$ de

$1$ .

$y = - 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de

$y$ por

$- 1$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de

$y$ en

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ por

$- 1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$

$y = - 1$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica

$\frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{1 - 3 \cdot - 1}{2}$

$y = - 1$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Multiplica

$- 3$ por

$- 1$ .

$x = \frac{1 + 3}{2}$

$y = - 1$

Paso 3.4.2.1.2.2

Suma

$1$ y

$3$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = - 1$

Paso 3.4.2.1.2.3

Divide

$4$ por

$2$ .

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$x = 2, y = - 1$

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