Álgebra lineal Ejemplos

${[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Paso 1

Asigna el conjunto al nombre $S$ para usarlo a lo largo del problema.

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Paso 2

Crea una matriz cuyas filas sean los vectores en el conjunto que abarca.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la forma escalonada reducida de la matriz.

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Paso 3.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 3.1.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 3.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 3.2

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

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Paso 3.2.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Paso 3.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

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Paso 3.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Paso 3.4

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{8}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{8}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]$

Paso 3.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.5

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

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Paso 3.5.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.5.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.6

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

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Paso 3.6.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.7

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 3.7.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.7.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 4

Convierte las filas no nulas en vectores columna para formar la base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

Como la base tiene $3$ vectores, la dimensión de $S$ es $3$ .

$dim (S) = 3$

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