Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 023 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - 3 - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 201 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Paso 1

Asigna el conjunto al nombre

S

$S$ para usarlo a lo largo del problema.

S = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 023 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - 3 - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 201 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Paso 2

Crea una matriz cuyas filas sean los vectores en el conjunto que abarca.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 2 & 3 - 1 & - 3 & - 5 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 3 \\ - 1 & - 3 & - 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la forma escalonada reducida de la matriz.

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Paso 3.1

Intercambia

R_{2}

$R_{2}$ por

R_{1}

$R_{1}$ para poner una entrada que no sea cero en

1, 1

$1, 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & - 3 & - 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiplica cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

- 1

$- 1$ para hacer que la entrada en

1, 1

$1, 1$ sea

1

$1$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

- 1

$- 1$ para hacer que la entrada en

1, 1

$1, 1$ sea

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - - 3 & - - 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en

3, 1

$3, 1$ sea

0

$0$ .

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Paso 3.3.1

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en

3, 1

$3, 1$ sea

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Simplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Paso 3.4

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Paso 3.4.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Paso 3.5

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ para hacer que la entrada en

3, 2

$3, 2$ sea

0

$0$ .

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Paso 3.5.1

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ para hacer que la entrada en

3, 2

$3, 2$ sea

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Paso 3.5.2

Simplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.6

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

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Paso 3.6.1

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.6.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4

Convierte las filas no nulas en vectores columna para formar la base.

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 \frac{1}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 01 \frac{3}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}]}$

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