Álgebra lineal Ejemplos

[5202504-14]⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦
Paso 1
Obtén los eigenvectores.
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Paso 1.1
Obtén los valores propios.
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Paso 1.1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica p(λ)p(λ).
p(λ)=determinante(A-λI3)p(λ)=determinante(A−λI3)
Paso 1.1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño 33 es la matriz cuadrada 3×33×3 con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
Paso 1.1.3
Sustituye los valores conocidos en p(λ)=determinante(A-λI3)p(λ)=determinante(A−λI3).
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Paso 1.1.3.1
Sustituye [5202504-14]⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦ por AA.
p(λ)=determinante([5202504-14]-λI3)p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦−λI3⎞⎟⎠
Paso 1.1.3.2
Sustituye [100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦ por I3I3.
p(λ)=determinante([5202504-14]-λ[100010001])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]-λ[100010001])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4
Simplifica.
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Paso 1.1.4.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.1.4.1.1
Multiplica -λ−λ por cada elemento de la matriz.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
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Paso 1.1.4.1.2.1
Multiplica -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.2
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
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Paso 1.1.4.1.2.2.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.2.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.3
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
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Paso 1.1.4.1.2.3.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.3.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.4
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
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Paso 1.1.4.1.2.4.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000λ−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.4.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.5
Multiplica -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.6
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
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Paso 1.1.4.1.2.6.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.6.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.7
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
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Paso 1.1.4.1.2.7.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.7.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.8
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
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Paso 1.1.4.1.2.8.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000λ−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.8.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.1.2.9
Multiplica -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
p(λ)=determinante[5-λ2+00+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ2+00+02+05−λ0+04+0−1+04−λ⎤⎥⎦
Paso 1.1.4.3
Simplifica cada elemento.
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Paso 1.1.4.3.1
Suma 22 y 00.
p(λ)=determinante[5-λ20+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ20+02+05−λ0+04+0−1+04−λ⎤⎥⎦
Paso 1.1.4.3.2
Suma 00 y 00.
p(λ)=determinante[5-λ202+05-λ0+04+0-1+04-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ202+05−λ0+04+0−1+04−λ⎤⎥⎦
Paso 1.1.4.3.3
Suma 22 y 00.
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ0+04+0-1+04-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ2025−λ0+04+0−1+04−λ⎤⎥⎦
Paso 1.1.4.3.4
Suma 00 y 00.
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04+0-1+04-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ2025−λ04+0−1+04−λ⎤⎥⎦
Paso 1.1.4.3.5
Suma 44 y 00.
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04-1+04-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ2025−λ04−1+04−λ⎤⎥⎦
Paso 1.1.4.3.6
Suma -1−1 y 00.
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04-14-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ2025−λ04−14−λ⎤⎥⎦
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04-14-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ2025−λ04−14−λ⎤⎥⎦
p(λ)=determinante[5-λ2025-λ04-14-λ]p(λ)=determinante⎡⎢⎣5−λ2025−λ04−14−λ⎤⎥⎦
Paso 1.1.5
Obtén el determinante.
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Paso 1.1.5.1
Elige la fila o columna con más elementos 00. Si no hay elementos 00, elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna 33 por su cofactor y suma.
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Paso 1.1.5.1.1
Considera el cuadro de signos correspondiente.
|+-+-+-+-+|∣∣ ∣∣+−+−+−+−+∣∣ ∣∣
Paso 1.1.5.1.2
El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición -− en el cuadro de signos.
Paso 1.1.5.1.3
El elemento menor de a13a13 es la determinante con la fila 11 y la columna 33 borradas.
|25-λ4-1|∣∣∣25−λ4−1∣∣∣
Paso 1.1.5.1.4
Multiplica el elemento a13a13 por su cofactor.
0|25-λ4-1|0∣∣∣25−λ4−1∣∣∣
Paso 1.1.5.1.5
El elemento menor de a23a23 es la determinante con la fila 22 y la columna 33 borradas.
|5-λ24-1|∣∣∣5−λ24−1∣∣∣
Paso 1.1.5.1.6
Multiplica el elemento a23a23 por su cofactor.
0|5-λ24-1|0∣∣∣5−λ24−1∣∣∣
Paso 1.1.5.1.7
El elemento menor de a33a33 es la determinante con la fila 33 y la columna 33 borradas.
|5-λ225-λ|∣∣∣5−λ225−λ∣∣∣
Paso 1.1.5.1.8
Multiplica el elemento a33a33 por su cofactor.
(4-λ)|5-λ225-λ|(4−λ)∣∣∣5−λ225−λ∣∣∣
Paso 1.1.5.1.9
Suma los términos juntos.
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|p(λ)=0∣∣∣25−λ4−1∣∣∣+0∣∣∣5−λ24−1∣∣∣+(4−λ)∣∣∣5−λ225−λ∣∣∣
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|p(λ)=0∣∣∣25−λ4−1∣∣∣+0∣∣∣5−λ24−1∣∣∣+(4−λ)∣∣∣5−λ225−λ∣∣∣
Paso 1.1.5.2
Multiplica 00 por |25-λ4-1|∣∣∣25−λ4−1∣∣∣.
p(λ)=0+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|p(λ)=0+0∣∣∣5−λ24−1∣∣∣+(4−λ)∣∣∣5−λ225−λ∣∣∣
Paso 1.1.5.3
Multiplica 00 por |5-λ24-1|∣∣∣5−λ24−1∣∣∣.
p(λ)=0+0+(4-λ)|5-λ225-λ|p(λ)=0+0+(4−λ)∣∣∣5−λ225−λ∣∣∣
Paso 1.1.5.4
Evalúa |5-λ225-λ|∣∣∣5−λ225−λ∣∣∣.
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Paso 1.1.5.4.1
El determinante de una matriz 2×22×2 puede obtenerse usando la fórmula |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb.
p(λ)=0+0+(4-λ)((5-λ)(5-λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)((5−λ)(5−λ)−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2
Simplifica el determinante.
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Paso 1.1.5.4.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.1.5.4.2.1.1
Expande (5-λ)(5-λ)(5−λ)(5−λ) con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
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Paso 1.1.5.4.2.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5(5-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(5(5−λ)−λ(5−λ)−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(5⋅5+5(−λ)−λ(5−λ)−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(5⋅5+5(−λ)−λ⋅5−λ(−λ)−2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(5⋅5+5(−λ)−λ⋅5−λ(−λ)−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
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Paso 1.1.5.4.2.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.1
Multiplica 55 por 55.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25+5(−λ)−λ⋅5−λ(−λ)−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.2
Multiplica -1−1 por 55.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−λ⋅5−λ(−λ)−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.3
Multiplica 55 por -1−1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-λ(-λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−5λ−λ(−λ)−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−5λ−1⋅−1λ⋅λ−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.5
Multiplica λλ por λλ sumando los exponentes.
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Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1
Mueve λλ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−5λ−1⋅−1(λ⋅λ)−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplica λλ por λλ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−5λ−1⋅−1λ2−2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−5λ−1⋅−1λ2−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.6
Multiplica -1−1 por -1−1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+1λ2-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−5λ+1λ2−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.7
Multiplica λ2λ2 por 11.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−5λ+λ2−2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−5λ−5λ+λ2−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.2.2
Resta 5λ5λ de -5λ−5λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−10λ+λ2−2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−10λ+λ2−2⋅2)
Paso 1.1.5.4.2.1.3
Multiplica -2−2 por 22.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−10λ+λ2−4)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)p(λ)=0+0+(4−λ)(25−10λ+λ2−4)
Paso 1.1.5.4.2.2
Resta 44 de 2525.
p(λ)=0+0+(4-λ)(-10λ+λ2+21)p(λ)=0+0+(4−λ)(−10λ+λ2+21)
Paso 1.1.5.4.2.3
Reordena -10λ−10λ y λ2λ2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)p(λ)=0+0+(4−λ)(λ2−10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)p(λ)=0+0+(4−λ)(λ2−10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)p(λ)=0+0+(4−λ)(λ2−10λ+21)
Paso 1.1.5.5
Simplifica el determinante.
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Paso 1.1.5.5.1
Combina los términos opuestos en 0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)0+0+(4−λ)(λ2−10λ+21).
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Paso 1.1.5.5.1.1
Suma 00 y 00.
p(λ)=0+(4-λ)(λ2-10λ+21)p(λ)=0+(4−λ)(λ2−10λ+21)
Paso 1.1.5.5.1.2
Suma 00 y (4-λ)(λ2-10λ+21)(4−λ)(λ2−10λ+21).
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)p(λ)=(4−λ)(λ2−10λ+21)
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)p(λ)=(4−λ)(λ2−10λ+21)
Paso 1.1.5.5.2
Expande (4-λ)(λ2-10λ+21)(4−λ)(λ2−10λ+21) mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.
p(λ)=4λ2+4(-10λ)+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2+4(−10λ)+4⋅21−λ⋅λ2−λ(−10λ)−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3
Simplifica cada término.
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Paso 1.1.5.5.3.1
Multiplica -10−10 por 44.
p(λ)=4λ2-40λ+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+4⋅21−λ⋅λ2−λ(−10λ)−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.2
Multiplica 44 por 2121.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ⋅λ2−λ(−10λ)−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.3
Multiplica λλ por λ2λ2 sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.5.5.3.3.1
Mueve λ2λ2.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ)-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−(λ2λ)−λ(−10λ)−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.3.2
Multiplica λ2λ2 por λλ.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.5.5.3.3.2.1
Eleva λλ a la potencia de 11.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ1)-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−(λ2λ1)−λ(−10λ)−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.3.2.2
Usa la regla de la potencia aman=am+naman=am+n para combinar exponentes.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ2+1−λ(−10λ)−λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ2+1−λ(−10λ)−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.3.3
Suma 22 y 11.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ3−λ(−10λ)−λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ3−λ(−10λ)−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ⋅λ-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ3−1⋅−10λ⋅λ−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.5
Multiplica λλ por λλ sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.5.5.3.5.1
Mueve λλ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10(λ⋅λ)-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ3−1⋅−10(λ⋅λ)−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.5.2
Multiplica λλ por λλ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ3−1⋅−10λ2−λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ3−1⋅−10λ2−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.6
Multiplica -1−1 por -10−10.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-λ⋅21p(λ)=4λ2−40λ+84−λ3+10λ2−λ⋅21
Paso 1.1.5.5.3.7
Multiplica 2121 por -1−1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λp(λ)=4λ2−40λ+84−λ3+10λ2−21λ
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λp(λ)=4λ2−40λ+84−λ3+10λ2−21λ
Paso 1.1.5.5.4
Suma 4λ24λ2 y 10λ210λ2.
p(λ)=14λ2-40λ+84-λ3-21λp(λ)=14λ2−40λ+84−λ3−21λ
Paso 1.1.5.5.5
Resta 21λ21λ de -40λ−40λ.
p(λ)=14λ2-61λ+84-λ3p(λ)=14λ2−61λ+84−λ3
Paso 1.1.5.5.6
Mueve 8484.
p(λ)=14λ2-61λ-λ3+84p(λ)=14λ2−61λ−λ3+84
Paso 1.1.5.5.7
Mueve -61λ−61λ.
p(λ)=14λ2-λ3-61λ+84p(λ)=14λ2−λ3−61λ+84
Paso 1.1.5.5.8
Reordena 14λ214λ2 y -λ3−λ3.
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84p(λ)=−λ3+14λ2−61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84p(λ)=−λ3+14λ2−61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84p(λ)=−λ3+14λ2−61λ+84
Paso 1.1.6
Establece el polinomio característico igual a 00 para obtener los valores propios λλ.
-λ3+14λ2-61λ+84=0−λ3+14λ2−61λ+84=0
Paso 1.1.7
Resuelve λ
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.7.1
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.7.1.1
Factoriza -λ3+14λ2-61λ+84 mediante la prueba de raíces racionales.
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Paso 1.1.7.1.1.1
Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma pq, donde p es un factor de la constante y q es un factor del coeficiente principal.
p=±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
q=±1
Paso 1.1.7.1.1.2
Obtén todas las combinaciones de ±pq. Estas son las posibles raíces de la función polinomial.
±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
Paso 1.1.7.1.1.3
Sustituye 3 y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a 0, por lo que 3 es una raíz del polinomio.
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Paso 1.1.7.1.1.3.1
Sustituye 3 en el polinomio.
-33+14⋅32-61⋅3+84
Paso 1.1.7.1.1.3.2
Eleva 3 a la potencia de 3.
-1⋅27+14⋅32-61⋅3+84
Paso 1.1.7.1.1.3.3
Multiplica -1 por 27.
-27+14⋅32-61⋅3+84
Paso 1.1.7.1.1.3.4
Eleva 3 a la potencia de 2.
-27+14⋅9-61⋅3+84
Paso 1.1.7.1.1.3.5
Multiplica 14 por 9.
-27+126-61⋅3+84
Paso 1.1.7.1.1.3.6
Suma -27 y 126.
99-61⋅3+84
Paso 1.1.7.1.1.3.7
Multiplica -61 por 3.
99-183+84
Paso 1.1.7.1.1.3.8
Resta 183 de 99.
-84+84
Paso 1.1.7.1.1.3.9
Suma -84 y 84.
0
0
Paso 1.1.7.1.1.4
Como 3 es una raíz conocida, divide el polinomio por λ-3 para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.
-λ3+14λ2-61λ+84λ-3
Paso 1.1.7.1.1.5
Divide -λ3+14λ2-61λ+84 por λ-3.
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Paso 1.1.7.1.1.5.1
Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de 0.
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
Paso 1.1.7.1.1.5.2
Divide el término de mayor orden en el dividendo -λ3 por el término de mayor orden en el divisor λ.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
Paso 1.1.7.1.1.5.3
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
-λ3+3λ2
Paso 1.1.7.1.1.5.4
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en -λ3+3λ2.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
Paso 1.1.7.1.1.5.5
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2
Paso 1.1.7.1.1.5.6
Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
Paso 1.1.7.1.1.5.7
Divide el término de mayor orden en el dividendo 11λ2 por el término de mayor orden en el divisor λ.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
Paso 1.1.7.1.1.5.8
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
+11λ2-33λ
Paso 1.1.7.1.1.5.9
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en 11λ2-33λ.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
Paso 1.1.7.1.1.5.10
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ
Paso 1.1.7.1.1.5.11
Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
Paso 1.1.7.1.1.5.12
Divide el término de mayor orden en el dividendo -28λ por el término de mayor orden en el divisor λ.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
Paso 1.1.7.1.1.5.13
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
-28λ+84
Paso 1.1.7.1.1.5.14
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en -28λ+84.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
+28λ-84
Paso 1.1.7.1.1.5.15
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
+28λ-84
0
Paso 1.1.7.1.1.5.16
Since the remainder is 0, the final answer is the quotient.
-λ2+11λ-28
-λ2+11λ-28
Paso 1.1.7.1.1.6
Escribe -λ3+14λ2-61λ+84 como un conjunto de factores.
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
Paso 1.1.7.1.2
Factoriza por agrupación.
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Paso 1.1.7.1.2.1
Factoriza por agrupación.
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Paso 1.1.7.1.2.1.1
Para un polinomio de la forma ax2+bx+c, reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es a⋅c=-1⋅-28=28 y cuya suma es b=11.
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Paso 1.1.7.1.2.1.1.1
Factoriza 11 de 11λ.
(λ-3)(-λ2+11(λ)-28)=0
Paso 1.1.7.1.2.1.1.2
Reescribe 11 como 4 más 7
(λ-3)(-λ2+(4+7)λ-28)=0
Paso 1.1.7.1.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
Paso 1.1.7.1.2.1.2
Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.
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Paso 1.1.7.1.2.1.2.1
Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.
(λ-3)((-λ2+4λ)+7λ-28)=0
Paso 1.1.7.1.2.1.2.2
Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
Paso 1.1.7.1.2.1.3
Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, -λ+4.
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
Paso 1.1.7.1.2.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
Paso 1.1.7.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0, la expresión completa será igual a 0.
λ-3=0
-λ+4=0
λ-7=0
Paso 1.1.7.3
Establece λ-3 igual a 0 y resuelve λ.
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Paso 1.1.7.3.1
Establece λ-3 igual a 0.
λ-3=0
Paso 1.1.7.3.2
Suma 3 a ambos lados de la ecuación.
λ=3
λ=3
Paso 1.1.7.4
Establece -λ+4 igual a 0 y resuelve λ.
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Paso 1.1.7.4.1
Establece -λ+4 igual a 0.
-λ+4=0
Paso 1.1.7.4.2
Resuelve -λ+4=0 en λ.
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Paso 1.1.7.4.2.1
Resta 4 de ambos lados de la ecuación.
-λ=-4
Paso 1.1.7.4.2.2
Divide cada término en -λ=-4 por -1 y simplifica.
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Paso 1.1.7.4.2.2.1
Divide cada término en -λ=-4 por -1.
-λ-1=-4-1
Paso 1.1.7.4.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 1.1.7.4.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
λ1=-4-1
Paso 1.1.7.4.2.2.2.2
Divide λ por 1.
λ=-4-1
λ=-4-1
Paso 1.1.7.4.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 1.1.7.4.2.2.3.1
Divide -4 por -1.
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
Paso 1.1.7.5
Establece λ-7 igual a 0 y resuelve λ.
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Paso 1.1.7.5.1
Establece λ-7 igual a 0.
λ-7=0
Paso 1.1.7.5.2
Suma 7 a ambos lados de la ecuación.
λ=7
λ=7
Paso 1.1.7.6
La solución final comprende todos los valores que hacen (λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0 verdadera.
λ=3,4,7
λ=3,4,7
λ=3,4,7
Paso 1.2
El vector propio es igual al espacio nulo de la matriz menos la cantidad de veces del valor propio de la matriz de identidades en donde N es el espacio nulo y I es la matriz de identidades.
εA=N(A-λI3)
Paso 1.3
Obtén el vector propio con el valor propio λ=3.
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Paso 1.3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([5202504-14]-3[100010001])
Paso 1.3.2
Simplifica.
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Paso 1.3.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.3.2.1.1
Multiplica -3 por cada elemento de la matriz.
[5202504-14]+[-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
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Paso 1.3.2.1.2.1
Multiplica -3 por 1.
[5202504-14]+[-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2.2
Multiplica -3 por 0.
[5202504-14]+[-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2.3
Multiplica -3 por 0.
[5202504-14]+[-300-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2.4
Multiplica -3 por 0.
[5202504-14]+[-3000-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2.5
Multiplica -3 por 1.
[5202504-14]+[-3000-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2.6
Multiplica -3 por 0.
[5202504-14]+[-3000-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2.7
Multiplica -3 por 0.
[5202504-14]+[-3000-300-3⋅0-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2.8
Multiplica -3 por 0.
[5202504-14]+[-3000-3000-3⋅1]
Paso 1.3.2.1.2.9
Multiplica -3 por 1.
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
Paso 1.3.2.2
Suma los elementos correspondientes.
[5-32+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
Paso 1.3.2.3
Simplifica cada elemento.
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Paso 1.3.2.3.1
Resta 3 de 5.
[22+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
Paso 1.3.2.3.2
Suma 2 y 0.
[220+02+05-30+04+0-1+04-3]
Paso 1.3.2.3.3
Suma 0 y 0.
[2202+05-30+04+0-1+04-3]
Paso 1.3.2.3.4
Suma 2 y 0.
[22025-30+04+0-1+04-3]
Paso 1.3.2.3.5
Resta 3 de 5.
[220220+04+0-1+04-3]
Paso 1.3.2.3.6
Suma 0 y 0.
[2202204+0-1+04-3]
Paso 1.3.2.3.7
Suma 4 y 0.
[2202204-1+04-3]
Paso 1.3.2.3.8
Suma -1 y 0.
[2202204-14-3]
Paso 1.3.2.3.9
Resta 3 de 4.
[2202204-11]
[2202204-11]
[2202204-11]
Paso 1.3.3
Obtén el espacio nulo cuando λ=3.
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Paso 1.3.3.1
Escribe como una matriz aumentada para Ax=0.
[220022004-110]
Paso 1.3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
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Paso 1.3.3.2.1
Multiplica cada elemento de R1 por 12 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
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Paso 1.3.3.2.1.1
Multiplica cada elemento de R1 por 12 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
[2222020222004-110]
Paso 1.3.3.2.1.2
Simplifica R1.
[110022004-110]
[110022004-110]
Paso 1.3.3.2.2
Realiza la operación de fila R2=R2-2R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
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Paso 1.3.3.2.2.1
Realiza la operación de fila R2=R2-2R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
[11002-2⋅12-2⋅10-2⋅00-2⋅04-110]
Paso 1.3.3.2.2.2
Simplifica R2.
[110000004-110]
[110000004-110]
Paso 1.3.3.2.3
Realiza la operación de fila R3=R3-4R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
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Paso 1.3.3.2.3.1
Realiza la operación de fila R3=R3-4R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
[110000004-4⋅1-1-4⋅11-4⋅00-4⋅0]
Paso 1.3.3.2.3.2
Simplifica R3.
[110000000-510]
[110000000-510]
Paso 1.3.3.2.4
Intercambia R3 por R2 para poner una entrada que no sea cero en 2,2.
[11000-5100000]
Paso 1.3.3.2.5
Multiplica cada elemento de R2 por -15 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
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Paso 1.3.3.2.5.1
Multiplica cada elemento de R2 por -15 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
[1100-15⋅0-15⋅-5-15⋅1-15⋅00000]
Paso 1.3.3.2.5.2
Simplifica R2.
[110001-1500000]
[110001-1500000]
Paso 1.3.3.2.6
Realiza la operación de fila R1=R1-R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
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Paso 1.3.3.2.6.1
Realiza la operación de fila R1=R1-R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
[1-01-10+150-001-1500000]
Paso 1.3.3.2.6.2
Simplifica R1.
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
Paso 1.3.3.3
Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.
x+15z=0
y-15z=0
0=0
Paso 1.3.3.4
Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.
[xyz]=[-z5z5z]
Paso 1.3.3.5
Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.
[xyz]=z[-15151]
Paso 1.3.3.6
Escribe como un conjunto de soluciones.
{z[-15151]|z∈R}
Paso 1.3.3.7
La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.
{[-15151]}
{[-15151]}
{[-15151]}
Paso 1.4
Obtén el vector propio con el valor propio λ=4.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([5202504-14]-4[100010001])
Paso 1.4.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.2.1.1
Multiplica -4 por cada elemento de la matriz.
[5202504-14]+[-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.2.1.2.1
Multiplica -4 por 1.
[5202504-14]+[-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2.2
Multiplica -4 por 0.
[5202504-14]+[-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2.3
Multiplica -4 por 0.
[5202504-14]+[-400-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2.4
Multiplica -4 por 0.
[5202504-14]+[-4000-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2.5
Multiplica -4 por 1.
[5202504-14]+[-4000-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2.6
Multiplica -4 por 0.
[5202504-14]+[-4000-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2.7
Multiplica -4 por 0.
[5202504-14]+[-4000-400-4⋅0-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2.8
Multiplica -4 por 0.
[5202504-14]+[-4000-4000-4⋅1]
Paso 1.4.2.1.2.9
Multiplica -4 por 1.
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
Paso 1.4.2.2
Suma los elementos correspondientes.
[5-42+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
Paso 1.4.2.3
Simplifica cada elemento.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.2.3.1
Resta 4 de 5.
[12+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
Paso 1.4.2.3.2
Suma 2 y 0.
[120+02+05-40+04+0-1+04-4]
Paso 1.4.2.3.3
Suma 0 y 0.
[1202+05-40+04+0-1+04-4]
Paso 1.4.2.3.4
Suma 2 y 0.
[12025-40+04+0-1+04-4]
Paso 1.4.2.3.5
Resta 4 de 5.
[120210+04+0-1+04-4]
Paso 1.4.2.3.6
Suma 0 y 0.
[1202104+0-1+04-4]
Paso 1.4.2.3.7
Suma 4 y 0.
[1202104-1+04-4]
Paso 1.4.2.3.8
Suma -1 y 0.
[1202104-14-4]
Paso 1.4.2.3.9
Resta 4 de 4.
[1202104-10]
[1202104-10]
[1202104-10]
Paso 1.4.3
Obtén el espacio nulo cuando λ=4.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.1
Escribe como una matriz aumentada para Ax=0.
[120021004-100]
Paso 1.4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.2.1
Realiza la operación de fila R2=R2-2R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.2.1.1
Realiza la operación de fila R2=R2-2R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
[12002-2⋅11-2⋅20-2⋅00-2⋅04-100]
Paso 1.4.3.2.1.2
Simplifica R2.
[12000-3004-100]
[12000-3004-100]
Paso 1.4.3.2.2
Realiza la operación de fila R3=R3-4R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.2.2.1
Realiza la operación de fila R3=R3-4R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
[12000-3004-4⋅1-1-4⋅20-4⋅00-4⋅0]
Paso 1.4.3.2.2.2
Simplifica R3.
[12000-3000-900]
[12000-3000-900]
Paso 1.4.3.2.3
Multiplica cada elemento de R2 por -13 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.2.3.1
Multiplica cada elemento de R2 por -13 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
[1200-13⋅0-13⋅-3-13⋅0-13⋅00-900]
Paso 1.4.3.2.3.2
Simplifica R2.
[120001000-900]
[120001000-900]
Paso 1.4.3.2.4
Realiza la operación de fila R3=R3+9R2 para hacer que la entrada en 3,2 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.2.4.1
Realiza la operación de fila R3=R3+9R2 para hacer que la entrada en 3,2 sea 0.
[120001000+9⋅0-9+9⋅10+9⋅00+9⋅0]
Paso 1.4.3.2.4.2
Simplifica R3.
[120001000000]
[120001000000]
Paso 1.4.3.2.5
Realiza la operación de fila R1=R1-2R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.2.5.1
Realiza la operación de fila R1=R1-2R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
[1-2⋅02-2⋅10-2⋅00-2⋅001000000]
Paso 1.4.3.2.5.2
Simplifica R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Paso 1.4.3.3
Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.
x=0
y=0
0=0
Paso 1.4.3.4
Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.
[xyz]=[00z]
Paso 1.4.3.5
Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.
[xyz]=z[001]
Paso 1.4.3.6
Escribe como un conjunto de soluciones.
{z[001]|z∈R}
Paso 1.4.3.7
La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Paso 1.5
Obtén el vector propio con el valor propio λ=7.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([5202504-14]-7[100010001])
Paso 1.5.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.1
Multiplica -7 por cada elemento de la matriz.
[5202504-14]+[-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.2.1
Multiplica -7 por 1.
[5202504-14]+[-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2.2
Multiplica -7 por 0.
[5202504-14]+[-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2.3
Multiplica -7 por 0.
[5202504-14]+[-700-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2.4
Multiplica -7 por 0.
[5202504-14]+[-7000-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2.5
Multiplica -7 por 1.
[5202504-14]+[-7000-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2.6
Multiplica -7 por 0.
[5202504-14]+[-7000-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2.7
Multiplica -7 por 0.
[5202504-14]+[-7000-700-7⋅0-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2.8
Multiplica -7 por 0.
[5202504-14]+[-7000-7000-7⋅1]
Paso 1.5.2.1.2.9
Multiplica -7 por 1.
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
Paso 1.5.2.2
Suma los elementos correspondientes.
[5-72+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
Paso 1.5.2.3
Simplifica cada elemento.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.3.1
Resta 7 de 5.
[-22+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
Paso 1.5.2.3.2
Suma 2 y 0.
[-220+02+05-70+04+0-1+04-7]
Paso 1.5.2.3.3
Suma 0 y 0.
[-2202+05-70+04+0-1+04-7]
Paso 1.5.2.3.4
Suma 2 y 0.
[-22025-70+04+0-1+04-7]
Paso 1.5.2.3.5
Resta 7 de 5.
[-2202-20+04+0-1+04-7]
Paso 1.5.2.3.6
Suma 0 y 0.
[-2202-204+0-1+04-7]
Paso 1.5.2.3.7
Suma 4 y 0.
[-2202-204-1+04-7]
Paso 1.5.2.3.8
Suma -1 y 0.
[-2202-204-14-7]
Paso 1.5.2.3.9
Resta 7 de 4.
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
Paso 1.5.3
Obtén el espacio nulo cuando λ=7.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.1
Escribe como una matriz aumentada para Ax=0.
[-22002-2004-1-30]
Paso 1.5.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.2.1
Multiplica cada elemento de R1 por -12 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.2.1.1
Multiplica cada elemento de R1 por -12 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
[-12⋅-2-12⋅2-12⋅0-12⋅02-2004-1-30]
Paso 1.5.3.2.1.2
Simplifica R1.
[1-1002-2004-1-30]
[1-1002-2004-1-30]
Paso 1.5.3.2.2
Realiza la operación de fila R2=R2-2R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.2.2.1
Realiza la operación de fila R2=R2-2R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
[1-1002-2⋅1-2-2⋅-10-2⋅00-2⋅04-1-30]
Paso 1.5.3.2.2.2
Simplifica R2.
[1-10000004-1-30]
[1-10000004-1-30]
Paso 1.5.3.2.3
Realiza la operación de fila R3=R3-4R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.2.3.1
Realiza la operación de fila R3=R3-4R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
[1-10000004-4⋅1-1-4⋅-1-3-4⋅00-4⋅0]
Paso 1.5.3.2.3.2
Simplifica R3.
[1-100000003-30]
[1-100000003-30]
Paso 1.5.3.2.4
Intercambia R3 por R2 para poner una entrada que no sea cero en 2,2.
[1-10003-300000]
Paso 1.5.3.2.5
Multiplica cada elemento de R2 por 13 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.2.5.1
Multiplica cada elemento de R2 por 13 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
[1-1000333-33030000]
Paso 1.5.3.2.5.2
Simplifica R2.
[1-10001-100000]
[1-10001-100000]
Paso 1.5.3.2.6
Realiza la operación de fila R1=R1+R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.2.6.1
Realiza la operación de fila R1=R1+R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
[1+0-1+1⋅10-10+001-100000]
Paso 1.5.3.2.6.2
Simplifica R1.
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
Paso 1.5.3.3
Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.
x-z=0
y-z=0
0=0
Paso 1.5.3.4
Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.
[xyz]=[zzz]
Paso 1.5.3.5
Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.
[xyz]=z[111]
Paso 1.5.3.6
Escribe como un conjunto de soluciones.
{z[111]|z∈R}
Paso 1.5.3.7
La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.
{[111]}
{[111]}
{[111]}
Paso 1.6
El espacio propio de A es la lista del espacio vectorial para cada valor propio.
{[-15151],[001],[111]}
{[-15151],[001],[111]}
Paso 2
Define P como una matriz de los eigenvectores.
P=[-15011501111]
Paso 3
Obtén la inversa de P.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1
Obtén el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1.1
Elige la fila o columna con más elementos 0. Si no hay elementos 0, elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna 2 por su cofactor y suma.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1.1.1
Considera el cuadro de signos correspondiente.
|+-+-+-+-+|
Paso 3.1.1.2
El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición - en el cuadro de signos.
Paso 3.1.1.3
El elemento menor de a12 es la determinante con la fila 1 y la columna 2 borradas.
|15111|
Paso 3.1.1.4
Multiplica el elemento a12 por su cofactor.
0|15111|
Paso 3.1.1.5
El elemento menor de a22 es la determinante con la fila 2 y la columna 2 borradas.
|-15111|
Paso 3.1.1.6
Multiplica el elemento a22 por su cofactor.
0|-15111|
Paso 3.1.1.7
El elemento menor de a32 es la determinante con la fila 3 y la columna 2 borradas.
|-151151|
Paso 3.1.1.8
Multiplica el elemento a32 por su cofactor.
-1|-151151|
Paso 3.1.1.9
Suma los términos juntos.
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
Paso 3.1.2
Multiplica 0 por |15111|.
0+0|-15111|-1|-151151|
Paso 3.1.3
Multiplica 0 por |-15111|.
0+0-1|-151151|
Paso 3.1.4
Evalúa |-151151|.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1.4.1
El determinante de una matriz 2×2 puede obtenerse usando la fórmula |abcd|=ad-cb.
0+0-1(-15⋅1-15⋅1)
Paso 3.1.4.2
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1.4.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1.4.2.1.1
Multiplica -1 por 1.
0+0-1(-15-15⋅1)
Paso 3.1.4.2.1.2
Multiplica -1 por 1.
0+0-1(-15-15)
0+0-1(-15-15)
Paso 3.1.4.2.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
0+0-1-1-15
Paso 3.1.4.2.3
Resta 1 de -1.
0+0-1(-25)
Paso 3.1.4.2.4
Mueve el negativo al frente de la fracción.
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
Paso 3.1.5
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1.5.1
Multiplica -1(-25).
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1.5.1.1
Multiplica -1 por -1.
0+0+1(25)
Paso 3.1.5.1.2
Multiplica 25 por 1.
0+0+25
0+0+25
Paso 3.1.5.2
Suma 0 y 0.
0+25
Paso 3.1.5.3
Suma 0 y 25.
25
25
25
Paso 3.2
Como el determinante no es nulo, existe el inverso.
Paso 3.3
Establece la matriz 3×6 donde la mitad izquierda es la matriz original y la mitad derecha es su matriz de identidades.
P-1=[-15011001501010111001]
Paso 3.4
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.1
Multiplica cada elemento de R1 por -5 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.1.1
Multiplica cada elemento de R1 por -5 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
P-1=[-5(-15)-5⋅0-5⋅1-5⋅1-5⋅0-5⋅01501010111001]
Paso 3.4.1.2
Simplifica R1.
P-1=[10-5-5001501010111001]
P-1=[10-5-5001501010111001]
Paso 3.4.2
Realiza la operación de fila R2=R2-15R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.2.1
Realiza la operación de fila R2=R2-15R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
P-1=[10-5-50015-15⋅10-15⋅01-15⋅-50-15⋅-51-15⋅00-15⋅0111001]
Paso 3.4.2.2
Simplifica R2.
P-1=[10-5-500002110111001]
P-1=[10-5-500002110111001]
Paso 3.4.3
Realiza la operación de fila R3=R3-R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.3.1
Realiza la operación de fila R3=R3-R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
P-1=[10-5-5000021101-11-01+50+50-01-0]
Paso 3.4.3.2
Simplifica R3.
P-1=[10-5-500002110016501]
P-1=[10-5-500002110016501]
Paso 3.4.4
Intercambia R3 por R2 para poner una entrada que no sea cero en 2,2.
P-1=[10-5-500016501002110]
Paso 3.4.5
Multiplica cada elemento de R3 por 12 para hacer que la entrada en 3,3 sea 1.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.5.1
Multiplica cada elemento de R3 por 12 para hacer que la entrada en 3,3 sea 1.
P-1=[10-5-500016501020222121202]
Paso 3.4.5.2
Simplifica R3.
P-1=[10-5-50001650100112120]
P-1=[10-5-50001650100112120]
Paso 3.4.6
Realiza la operación de fila R2=R2-6R3 para hacer que la entrada en 2,3 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.6.1
Realiza la operación de fila R2=R2-6R3 para hacer que la entrada en 2,3 sea 0.
P-1=[10-5-5000-6⋅01-6⋅06-6⋅15-6(12)0-6(12)1-6⋅000112120]
Paso 3.4.6.2
Simplifica R2.
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
Paso 3.4.7
Realiza la operación de fila R1=R1+5R3 para hacer que la entrada en 1,3 sea 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.7.1
Realiza la operación de fila R1=R1+5R3 para hacer que la entrada en 1,3 sea 0.
P-1=[1+5⋅00+5⋅0-5+5⋅1-5+5(12)0+5(12)0+5⋅00102-3100112120]
Paso 3.4.7.2
Simplifica R1.
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
Paso 3.5
La mitad derecha de la forma escalonada de fila reducida es la inversa.
P-1=[-525202-3112120]
P-1=[-525202-3112120]
Paso 4
Usa la transformación de similitudes para obtener la matriz diagonal D.
D=P-1AP
Paso 5
Sustituye las matrices.
[-525202-3112120][5202504-14][-15011501111]
Paso 6
Simplifica.
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Paso 6.1
Multiplica [-525202-3112120][5202504-14].
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Paso 6.1.1
Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es 3×3 y la segunda matriz es 3×3.
Paso 6.1.2
Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.
[-52⋅5+52⋅2+0⋅4-52⋅2+52⋅5+0⋅-1-52⋅0+52⋅0+0⋅42⋅5-3⋅2+1⋅42⋅2-3⋅5+1⋅-12⋅0-3⋅0+1⋅412⋅5+12⋅2+0⋅412⋅2+12⋅5+0⋅-112⋅0+12⋅0+0⋅4][-15011501111]
Paso 6.1.3
Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.
[-15215208-12472720][-15011501111]
[-15215208-12472720][-15011501111]
Paso 6.2
Multiplica [-15215208-12472720][-15011501111].
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Paso 6.2.1
Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es 3×3 y la segunda matriz es 3×3.
Paso 6.2.2
Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.
[-152(-15)+152⋅15+0⋅1-152⋅0+152⋅0+0⋅1-152⋅1+152⋅1+0⋅18(-15)-12(15)+4⋅18⋅0-12⋅0+4⋅18⋅1-12⋅1+4⋅172(-15)+72⋅15+0⋅172⋅0+72⋅0+0⋅172⋅1+72⋅1+0⋅1]
Paso 6.2.3
Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.
[300040007]
[300040007]
[300040007]
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