Álgebra lineal Ejemplos

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

Paso 1

Escribe como una matriz aumentada para $x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

Paso 2

Escribe como un sistema de ecuaciones lineales

$8 = 3 x + 3 y$

$1 = 4 x - y$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Mueve las variables a la izquierda y los términos de la constante a la derecha.

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Paso 3.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 3.1.1.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$8 - 3 x = 3 y$

$1 = 4 x - y$

Paso 3.1.1.2

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$8 - 3 x - 3 y = 0$

$1 = 4 x - y$

$8 - 3 x - 3 y = 0$

$1 = 4 x - y$

Paso 3.1.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 = 4 x - y$

Paso 3.1.3

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 3.1.3.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x = - y$

Paso 3.1.3.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x + y = 0$

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x + y = 0$

Paso 3.1.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$- 4 x + y = - 1$

$- 3 x - 3 y = - 8$

$- 4 x + y = - 1$

Paso 3.2

Escribe el sistema como una matriz.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 3.3.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 3.3.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

Paso 3.3.3

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{5}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 3.3.3.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{5}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

Paso 3.3.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Paso 3.3.4

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 3.3.4.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Paso 3.3.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Paso 3.4

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x = \frac{11}{15}$

$y = \frac{29}{15}$

Paso 3.5

Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

Paso 3.6

Escribe como un conjunto de soluciones.

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

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