Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 \\ 4 & - 5 & 5 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Paso 1

Para determinar si las columnas en la matriz son linealmente dependientes, determina si la ecuación $A x = 0$ tiene soluciones no triviales.

Paso 2

Escribe como una matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- 1$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- 1$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Paso 3.4

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{19}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{19}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Paso 3.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Paso 3.5

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

Paso 3.6

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{19}{146}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{19}{146}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.6.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.7

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.7.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.8

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.8.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.9

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.9.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4

Escribe la matriz como un sistema de ecuaciones lineales.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Paso 5

Como la única solución para $A x = 0$ es la solución trivial, los vectores son linealmente independientes.

Linealmente independiente

Ingresa TU problema