Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

2

$2$ es la matriz cuadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 1.3.2

Sustituye

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 + 0 12 + 0 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Suma

3

$3$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 12 + 0 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma

12

$12$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 12 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 12 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 12 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.1

Expande

(1 - λ) (2 - λ)

$(1 - λ) (2 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.2

Multiplica

- λ

$- λ$ por

1

$1$ .

p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.3

Multiplica

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.5

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.2.1.5.1

Mueve

λ

$λ$ .

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.6

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.7

Multiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.2

Resta

2 λ

$2 λ$ de

- λ

$- λ$ .

p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.3

Multiplica

- 12

$- 12$ por

3

$3$ .

p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36$

p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36$

Paso 1.5.2.2

Resta

36

$36$ de

2

$2$ .

p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 34

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 34$

Paso 1.5.2.3

Reordena

- 3 λ

$- 3 λ$ y

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a

0

$0$ para obtener los valores propios

λ

$λ$ .

λ^{2} - 3 λ - 34 = 0

$λ^{2} - 3 λ - 34 = 0$

Paso 1.7

Resuelve

λ

$λ$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 3

$b = - 3$ y

c = - 34

$c = - 34$ en la fórmula cuadrática y resuelve

λ

$λ$ .

\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 34)}}{2 \cdot 1}

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 34)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1.1

Eleva

- 3

$- 3$ a la potencia de

2

$2$ .

λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.2

Multiplica

- 4 \cdot 1 \cdot - 34

$- 4 \cdot 1 \cdot - 34$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1.2.1

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.2.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

- 34

$- 34$ .

λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.3

Suma

9

$9$ y

136

$136$ .

λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

Paso 1.7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

N ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Multiplica

- \frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica

- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

\frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica

- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.3.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3.2

Multiplica

0

$0$ por

\frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3.2

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3.3

Resta

$3$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.4

Reescribe

$- 1$ como

$- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.5

Factoriza

$- 1$ de

$- \sqrt{145}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.6

Factoriza

$- 1$ de

$- 1 (1) - (\sqrt{145})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.8

Suma

$3$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.9

Suma

$12$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.10

Para escribir

$2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.11

Combina

$2$ y

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.13.1

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.3

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.4

Resta

$3$ de

$4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} (- \frac{1 + \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 - \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} + \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Multiplica

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.2.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2.2

Multiplica

$0$ por

$\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.3.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3.2

Multiplica

$0$ por

$\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.2

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.3

Multiplica

$- - \sqrt{145}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.3.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.3.2

Multiplica

$\sqrt{145}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.4

Resta

$3$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Reescribe

$- 1$ como

$- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Factoriza

$- 1$ de

$\sqrt{145}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Factoriza

$- 1$ de

$- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.8

Suma

$3$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.9

Suma

$12$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.10

Para escribir

$2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.11

Combina

$2$ y

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.13.1

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.3

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.4

Multiplica

$- - \sqrt{145}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.13.4.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.4.2

Multiplica

$\sqrt{145}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.5

Resta

$3$ de

$4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} (- \frac{1 - \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 + \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} - \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

Ingresa TU problema