Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $- 1 - λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Expande $(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1 (- λ)$ .

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Paso 5.4.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.2.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.3

Multiplica $- λ \cdot - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.3.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.2

Suma $λ$ y $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 3)$ .

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Paso 5.4.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Paso 5.4.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Paso 5.4.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

Paso 5.4.2.3

Reordena $2 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.1

Suma $- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ y $0$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Paso 5.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Paso 5.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Paso 5.5.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Paso 5.5.2.4

Expande $(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.5.1

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.2

Multiplica $2 λ$ por $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.4

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.2.5.4.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.4.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.2.5.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.6

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.2.5.6.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.6.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Paso 5.5.2.5.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

Paso 5.5.2.6

Resta $2 λ^{2}$ de $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Paso 5.5.2.7

Resta $4 λ$ de $2 λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

Paso 5.5.3

Combina los términos opuestos en $4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ .

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Paso 5.5.3.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

Paso 5.5.3.2

Suma $4 λ - λ^{2} - 2 λ$ y $0$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

Paso 5.5.4

Resta $2 λ$ de $4 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

Paso 5.5.5

Mueve $2 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

Paso 5.5.6

Reordena $- λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Factoriza $- λ$ de $- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $- λ$ de $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $- λ$ de $- λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $- λ$ de $2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

Paso 7.1.1.4

Factoriza $- λ$ de $- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ .

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Paso 7.1.1.5

Factoriza $- λ$ de $- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ .

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $λ^{2} + λ - 2$ con el método AC.

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Paso 7.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 7.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

Paso 7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

Paso 7.3

Establece $λ$ igual a $0$ .

$λ = 0$

Paso 7.4

Establece $λ - 1$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.4.1

Establece $λ - 1$ igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 1$

Paso 7.5

Establece $λ + 2$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.5.1

Establece $λ + 2$ igual a $0$ .

$λ + 2 = 0$

Paso 7.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$λ = - 2$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ verdadera.

$λ = 0, 1, - 2$

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