Álgebra lineal Ejemplos

\frac{- 4}{3 + i}

$\frac{- 4}{3 + i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de

\frac{- 4}{3 + 1 i}

$\frac{- 4}{3 + 1 i}$ por el conjugado de

3 + 1 i

$3 + 1 i$ para hacer real el denominador.

\frac{- 4}{3 + 1 i} \cdot \frac{3 - i}{3 - i}

$\frac{- 4}{3 + 1 i} \cdot \frac{3 - i}{3 - i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

\frac{- 4 (3 - i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}

$\frac{- 4 (3 - i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{- 4 \cdot 3 - 4 (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4 (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Paso 2.2.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

3

$3$ .

\frac{- 12 - 4 (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}

$\frac{- 12 - 4 (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Paso 2.2.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 4

$- 4$ .

\frac{- 12 + 4 i}{(3 + 1 i) (3 - i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

\frac{- 12 + 4 i}{(3 + 1 i) (3 - i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande

(3 + 1 i) (3 - i)

$(3 + 1 i) (3 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{- 12 + 4 i}{3 (3 - i) + 1 i (3 - i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{3 (3 - i) + 1 i (3 - i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{- 12 + 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i (3 - i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i (3 - i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{- 12 + 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

\frac{- 12 + 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica

3

$3$ por

3

$3$ .

\frac{- 12 + 4 i}{9 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{9 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

3

$3$ .

\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica

3

$3$ por

1

$1$ .

\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 3 i + 1 i (- i)}

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 3 i + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 3 i - i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 3 i - i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - 3 i + 3 i - i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Suma

$- 3 i$ y

$3 i$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma

$9$ y

$0$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{9 - - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{9 + 1}$

Paso 2.3.4

Suma

$9$ y

$1$ .

$\frac{- 12 + 4 i}{10}$

Paso 3

Cancela el factor común de

$- 12 + 4 i$ y

$10$ .

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Paso 3.1

Factoriza

$2$ de

$- 12$ .

$\frac{2 (- 6) + 4 i}{10}$

Paso 3.2

Factoriza

$2$ de

$4 i$ .

$\frac{2 (- 6) + 2 (2 i)}{10}$

Paso 3.3

Factoriza

$2$ de

$2 (- 6) + 2 (2 i)$ .

$\frac{2 (- 6 + 2 i)}{10}$

Paso 3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.1

Factoriza

$2$ de

$10$ .

$\frac{2 (- 6 + 2 i)}{2 \cdot 5}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 6 + 2 i)}{2 \cdot 5}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 6 + 2 i}{5}$

Paso 4

Divide la fracción

$\frac{- 6 + 2 i}{5}$ en dos fracciones.

$\frac{- 6}{5} + \frac{2 i}{5}$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{5} + \frac{2 i}{5}$

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