Ejemplos

Obtener la intersección de la línea perpendicular al plano 1 que pasa por el origen y el plano 2
,
Paso 1
Para obtener la intersección de la línea que pasa por un punto perpendicular al plano y al plano :
1. Busca los vectores normales del plano y del plano donde los vectores normales son y . Comprueba si el producto escalar es 0.
2. Crea un conjunto de ecuaciones paramétricas tales que , y .
3. Sustituye estas ecuaciones en la ecuación del plano tal que y resuelve para .
4. A partir del valor de , resuelve las ecuaciones paramétricas , y en para obtener la intersección de .
Paso 2
Obtén los vectores normales para cada plano y determina si son perpendiculares mediante el cálculo del producto escalar.
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Paso 2.1
es . Encuentra el vector normal a partir de la ecuación del plano de la forma .
Paso 2.2
es . Encuentra el vector normal a partir de la ecuación del plano de la forma .
Paso 2.3
Calcula el producto escalar de y mediante la suma de los productos de los valores correspondientes de , y en los vectores normales.
Paso 2.4
Simplifica el producto escalar.
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Paso 2.4.1
Elimina los paréntesis.
Paso 2.4.2
Simplifica cada término.
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Paso 2.4.2.1
Multiplica por .
Paso 2.4.2.2
Multiplica por .
Paso 2.4.2.3
Multiplica por .
Paso 2.4.3
Simplifica mediante la adición de números.
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Paso 2.4.3.1
Suma y .
Paso 2.4.3.2
Suma y .
Paso 3
A continuación, construye un conjunto de ecuaciones paramétricas , y con el origen para el punto y los valores del vector normal para los valores de , y . Este conjunto de ecuaciones paramétricas representa la línea que pasa por el origen perpendicular a .
Paso 4
Sustituye la expresión para , y en la ecuación para .
Paso 5
Resuelve la ecuación en .
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Paso 5.1
Simplifica .
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Paso 5.1.1
Combina los términos opuestos en .
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Paso 5.1.1.1
Suma y .
Paso 5.1.1.2
Resta de .
Paso 5.1.2
Simplifica cada término.
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Paso 5.1.2.1
Multiplica por .
Paso 5.1.2.2
Reescribe como .
Paso 5.1.2.3
Multiplica .
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Paso 5.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 5.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 5.1.3
Suma y .
Paso 5.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 5.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.2.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 5.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.2.2.1.2
Divide por .
Paso 5.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 5.2.3.1
Divide por .
Paso 6
Resuelve las ecuaciones paramétricas en , y mediante el valor de .
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Paso 6.1
Resuelve la ecuación en .
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Paso 6.1.1
Elimina los paréntesis.
Paso 6.1.2
Simplifica .
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Paso 6.1.2.1
Multiplica por .
Paso 6.1.2.2
Resta de .
Paso 6.2
Resuelve la ecuación en .
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Paso 6.2.1
Elimina los paréntesis.
Paso 6.2.2
Simplifica .
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Paso 6.2.2.1
Multiplica por .
Paso 6.2.2.2
Suma y .
Paso 6.3
Resuelve la ecuación en .
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Paso 6.3.1
Elimina los paréntesis.
Paso 6.3.2
Simplifica .
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Paso 6.3.2.1
Multiplica por .
Paso 6.3.2.2
Suma y .
Paso 6.4
Las ecuaciones paramétricas resueltas para , y .
Paso 7
Mediante los valores calculados para , y , el punto de intersección es .
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