Ejemplos

$A = [\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Paso 2

Usa el cuadro de signos y la matriz dada para obtener el cofactor de cada elemento.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{11}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Paso 2.1.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Paso 2.1.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$a_{11} = 12 - 8$

Paso 2.1.2.2.2

Resta $8$ de $12$ .

$a_{11} = 4$

Paso 2.2

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Paso 2.2.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$a_{12} = 12 - 4$

Paso 2.2.2.2.2

Resta $4$ de $12$ .

$a_{12} = 8$

Paso 2.3

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{13}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Paso 2.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$a_{13} = 8 - 4$

Paso 2.3.2.2.2

Resta $4$ de $8$ .

$a_{13} = 4$

Paso 2.4

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{21}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

El elemento menor de $a_{21}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Paso 2.4.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$a_{21} = 6 - 2$

Paso 2.4.2.2.2

Resta $2$ de $6$ .

$a_{21} = 4$

Paso 2.5

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{22}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

El elemento menor de $a_{22}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Paso 2.5.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Paso 2.5.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a_{22} = 9 - 1$

Paso 2.5.2.2.2

Resta $1$ de $9$ .

$a_{22} = 8$

Paso 2.6

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{23}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

El elemento menor de $a_{23}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 2.6.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.6.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Paso 2.6.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$a_{23} = 6 - 2$

Paso 2.6.2.2.2

Resta $2$ de $6$ .

$a_{23} = 4$

Paso 2.7

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{31}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

El elemento menor de $a_{31}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 2.7.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Paso 2.7.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Paso 2.7.2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a_{31} = 8 - 4$

Paso 2.7.2.2.2

Resta $4$ de $8$ .

$a_{31} = 4$

Paso 2.8

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{32}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

El elemento menor de $a_{32}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 2.8.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Paso 2.8.2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Paso 2.8.2.2.2

Resta $4$ de $12$ .

$a_{32} = 8$

Paso 2.9

Calcula el elemento menor para el elemento $a_{33}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1

El elemento menor de $a_{33}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 2.9.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Paso 2.9.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Paso 2.9.2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$a_{33} = 12 - 8$

Paso 2.9.2.2.2

Resta $8$ de $12$ .

$a_{33} = 4$

Paso 2.10

La matriz de adjuntos es una matriz de los elementos menores con el signo cambiado para los elementos en las posiciones $-$ en el cuadro de signos.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

Paso 3

Transpón la matriz al intercambiar las filas por columnas.

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 4 \\ - 8 & 8 & - 8 \\ 4 & - 4 & 4 \end{array}]$

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