Ejemplos

B = [\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}]

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

2

$2$ es la matriz cuadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye

[\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 1.3.2

Sustituye

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplifica cada elemento.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Suma

$2$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma

$3$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Obtén el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.1

Expande

$(1 - λ) (4 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.2.1.1

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.2

Multiplica

$- λ$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.3

Multiplica

$4$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.5

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.2.1.5.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.6

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.7

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.2

Resta

$4 λ$ de

$- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.3

Multiplica

$- 3$ por

$2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Paso 1.5.2.2

Resta

$6$ de

$4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Paso 1.5.2.3

Reordena

$- 5 λ$ y

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a

$0$ para obtener los valores propios

$λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Paso 1.7

Resuelve

$λ$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores

$a = 1$ ,

$b = - 5$ y

$c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1.1

Eleva

$- 5$ a la potencia de

$2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.2.2

Multiplica

$- 4$ por

$- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.3

Suma

$25$ y

$8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Paso 1.7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 2

El vector propio es igual al espacio nulo de la matriz menos la cantidad de veces del valor propio de la matriz de identidades en donde

$N$ es el espacio nulo y

$I$ es la matriz de identidades.

$ε_{B} = N (B - λ I_{2})$

Paso 3

Obtén el vector propio con el valor propio

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Multiplica

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.2.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2.2

Multiplica

$0$ por

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.3.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3.2

Multiplica

$0$ por

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3

Simplifica cada elemento.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3.2

Multiplica

$- 1$ por

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3.3

Resta

$5$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.4

Reescribe

$- 3$ como

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.5

Factoriza

$- 1$ de

$- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.6

Factoriza

$- 1$ de

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.8

Suma

$2$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.9

Suma

$3$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.10

Para escribir

$4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.11

Combina

$4$ y

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.13.1

Multiplica

$4$ por

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.3

Multiplica

$- 1$ por

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.4

Resta

$5$ de

$8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.3

Obtén el espacio nulo cuando

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Escribe como una matriz aumentada para

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Multiplica cada elemento de

$R_{1}$ por

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ para hacer que la entrada en

$1, 1$ sea

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Multiplica cada elemento de

$R_{1}$ por

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ para hacer que la entrada en

$1, 1$ sea

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Realiza la operación de fila

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en

$2, 1$ sea

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Realiza la operación de fila

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en

$2, 1$ sea

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Paso 3.3.5

Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Escribe como un conjunto de soluciones.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 3.3.7

La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Obtén el vector propio con el valor propio

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.2.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2.2

Multiplica

$0$ por

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.3.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3.2

Multiplica

$0$ por

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplifica cada elemento.

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Paso 4.2.3.1

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.2

Multiplica

$- 1$ por

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.3

Multiplica

$- - \sqrt{33}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.3.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.3.2

Multiplica

$\sqrt{33}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.4

Resta

$5$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Reescribe

$- 3$ como

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Factoriza

$- 1$ de

$\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Factoriza

$- 1$ de

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.8

Suma

$2$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.9

Suma

$3$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.10

Para escribir

$4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.11

Combina

$4$ y

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.13.1

Multiplica

$4$ por

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.3

Multiplica

$- 1$ por

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.4

Multiplica

$- - \sqrt{33}$ .

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Paso 4.2.3.13.4.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.4.2

Multiplica

$\sqrt{33}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.5

Resta

$5$ de

$8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.3

Obtén el espacio nulo cuando

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Paso 4.3.1

Escribe como una matriz aumentada para

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica cada elemento de

$R_{1}$ por

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ para hacer que la entrada en

$1, 1$ sea

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Multiplica cada elemento de

$R_{1}$ por

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ para hacer que la entrada en

$1, 1$ sea

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Realiza la operación de fila

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en

$2, 1$ sea

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Realiza la operación de fila

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en

$2, 1$ sea

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Paso 4.3.5

Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Escribe como un conjunto de soluciones.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 4.3.7

La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

El espacio propio de

$B$ es la lista del espacio vectorial para cada valor propio.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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