Ejemplos

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y - 3 = 0$

Paso 1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 12 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{6}{1}$

Paso 2.3.2.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$d = 6$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $144$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Paso 2.4.2.2

Resta $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 6)}^{2} - 36$ .

${(x + 6)}^{2} - 36$

Paso 3

Sustituye ${(x + 6)}^{2} - 36$ por $x^{2} + 12 x$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ .

${(x + 6)}^{2} - 36 - y^{2} - 12 y = 3$

Paso 4

Mueve $- 36$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $36$ a ambos lados.

${(x + 6)}^{2} - y^{2} - 12 y = 3 + 36$

Paso 5

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 12 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 6$

Paso 5.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 6$ como $- - 6$ .

$d = - - 6$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$d = 6$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $144$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Paso 5.4.2.2

Suma $0$ y $36$ .

$e = 36$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 6)}^{2} + 36$ .

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

Paso 6

Sustituye $- {(y + 6)}^{2} + 36$ por $- y^{2} - 12 y$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 3 + 36$

Paso 7

Mueve $36$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $36$ a ambos lados.

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3 + 36 - 36$

Paso 8

Simplifica $3 + 36 - 36$ .

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Paso 8.1

Suma $3$ y $36$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 39 - 36$

Paso 8.2

Resta $36$ de $39$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3$

Paso 9

Divide cada término por $3$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = 1$

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