Ejemplos

$y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x - 1$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{x + 4}{x + 1}$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.3

Sustituye $1$ por $x$ en $\frac{x + 4}{x + 1}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye $1$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{1 + 4}{1 + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{5}{1 + 1}$

Paso 5.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(1, \frac{5}{2})$

Paso 6

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