Ejemplos

$4 x - y = 2$ , $6 x - 2 y = - 1$

Paso 1

Para obtener la intersección de la línea que pasa por un punto $(p, q, r)$ perpendicular al plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ y al plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Busca los vectores normales del plano $P_{1}$ y del plano $P_{2}$ donde los vectores normales son $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ y $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Comprueba si el producto escalar es 0.

2. Crea un conjunto de ecuaciones paramétricas tales que $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ .

3. Sustituye estas ecuaciones en la ecuación del plano $P_{2}$ tal que $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ y resuelve para $t$ .

4. A partir del valor de $t$ , resuelve las ecuaciones paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ en $t$ para obtener la intersección de $(x, y, z)$ .

Paso 2

Obtén los vectores normales para cada plano y determina si son perpendiculares mediante el cálculo del producto escalar.

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Paso 2.1

$P_{1}$ es $4 x - y = 2$ . Encuentra el vector normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Paso 2.2

$P_{2}$ es $6 x - 2 y = - 1$ . Encuentra el vector normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩$

Paso 2.3

Calcula el producto escalar de $n_{1}$ y $n_{2}$ mediante la suma de los productos de los valores correspondientes de $x$ , $y$ y $z$ en los vectores normales.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Paso 2.4

Simplifica el producto escalar.

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Paso 2.4.1

Elimina los paréntesis.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Paso 2.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$24 + 2 + 0 \cdot 0$

Paso 2.4.2.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$24 + 2 + 0$

Paso 2.4.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.4.3.1

Suma $24$ y $2$ .

$26 + 0$

Paso 2.4.3.2

Suma $26$ y $0$ .

$26$

Paso 3

A continuación, construye un conjunto de ecuaciones paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ con el origen $(0, 0, 0)$ para el punto $(p, q, r)$ y los valores del vector normal $26$ para los valores de $a$ , $b$ y $c$ . Este conjunto de ecuaciones paramétricas representa la línea que pasa por el origen perpendicular a $P_{1}$ $4 x - y = 2$ .

$x = 0 + 4 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Paso 4

Sustituye la expresión para $x$ , $y$ y $z$ en la ecuación para $P_{2}$ $6 x - 2 y = - 1$ .

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 5.1

Simplifica $6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

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Paso 5.1.1

Combina los términos opuestos en $6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

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Paso 5.1.1.1

Suma $0$ y $4 \cdot t$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Paso 5.1.1.2

Resta $1 \cdot t$ de $0$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Paso 5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Paso 5.1.2.2

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$24 t - 2 (- t) = - 1$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$24 t + 2 t = - 1$

Paso 5.1.3

Suma $24 t$ y $2 t$ .

$26 t = - 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $26 t = - 1$ por $26$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $26 t = - 1$ por $26$ .

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $26$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 1}{26}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{1}{26}$

Paso 6

Resuelve las ecuaciones paramétricas en $x$ , $y$ y $z$ mediante el valor de $t$ .

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Paso 6.1

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Paso 6.1.2

Elimina los paréntesis.

$x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$

Paso 6.1.3

Simplifica $0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

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Paso 6.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{26}$ al numerador.

$x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}$

Paso 6.1.3.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}$

Paso 6.1.3.1.1.3

Factoriza $2$ de $26$ .

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Paso 6.1.3.1.1.4

Cancela el factor común.

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Paso 6.1.3.1.1.5

Reescribe la expresión.

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

Paso 6.1.3.1.2

Combina $2$ y $\frac{- 1}{13}$ .

$x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}$

Paso 6.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = 0 + \frac{- 2}{13}$

Paso 6.1.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 0 - \frac{2}{13}$

Paso 6.1.3.2

Resta $\frac{2}{13}$ de $0$ .

$x = - \frac{2}{13}$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Paso 6.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$

Paso 6.2.3

Simplifica $0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $- 1 (- \frac{1}{26})$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{1}{26})$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{26}$ por $1$ .

$y = 0 + \frac{1}{26}$

Paso 6.2.3.2

Suma $0$ y $\frac{1}{26}$ .

$y = \frac{1}{26}$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 6.3.1

Elimina los paréntesis.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Paso 6.3.2

Elimina los paréntesis.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$

Paso 6.3.3

Simplifica $0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $0 (- \frac{1}{26})$ .

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Paso 6.3.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{1}{26})$

Paso 6.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{26}$ .

$z = 0 + 0$

Paso 6.3.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$z = 0$

Paso 6.4

Las ecuaciones paramétricas resueltas para $x$ , $y$ y $z$ .

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

Paso 7

Mediante los valores calculados para $x$ , $y$ y $z$ , el punto de intersección es $(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$ .

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$

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