Matemática discreta Ejemplos

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ , $x + y = 2$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 2 - y$

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2 - y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ por $2 - y$ .

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(2 - y)}^{2}$ como $(2 - y) (2 - y)$ .

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(2 - y) (2 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Resta $2 y$ de $- 2 y$ .

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.5.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 2.2.1.2

Suma $6 y^{2}$ y $3 y^{2}$ .

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ .

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Paso 3.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.2

Resta $12$ de $24$ .

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $3$ de $- 24 y + 9 y^{2} + 12$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 24 y$ .

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $3$ de $9 y^{2}$ .

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $3$ de $12$ .

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $3$ de $3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ .

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $3$ de $3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ .

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.2

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 u$ .

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.3.2.2

Reescribe $- 8$ como $- 2$ más $- 6$

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 2$ .

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.4

Factoriza.

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Paso 3.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.5

Establece $3 y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $3 y - 2$ igual a $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.5.2

Resuelve $3 y - 2 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 2$

$x = 2 - y$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $3 y = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $3 y = 2$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Paso 3.6

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Paso 3.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

$x = 2 - y$

$y = 2$

$x = 2 - y$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ verdadera.

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{2}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 2 - y$ por $\frac{2}{3}$ .

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

$y = \frac{2}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $2 - (\frac{2}{3})$ .

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Paso 4.2.1.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Paso 4.2.1.2

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Paso 4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Paso 4.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Paso 4.2.1.4.2

Resta $2$ de $6$ .

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 2 - y$ por $2$ .

$x = 2 - (2)$

$y = 2$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $2 - (2)$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = 2 - 2$

$y = 2$

Paso 5.2.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

$(0, 2)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

$x = 0, y = 2$

Paso 8

Ingresa TU problema