Matemática discreta Ejemplos

$4 x - y = - 4$ , $6 x - y = 0$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 6 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}]$

Paso 2

Obtén el determinante de la matriz coeficiente $[\begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 6 & - 1 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Escribe $[\begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 6 & - 1 \end{array}]$ en la notación determinante.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 6 & - 1 \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 1 - 6 \cdot - 1$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 - 6 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$- 4 + 6$

Paso 2.3.2

Suma $- 4$ y $6$ .

$2$

$D = 2$

Paso 3

Como el determinante no es $0$ , se puede resolver el sistema con la regla de Cramer.

Paso 4

Obtén el valor de $x$ con la regla de Cramer, que establece que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la columna $1$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $x$ del sistema con $[\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 4 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Paso 4.2

Obtén el determinante.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 \cdot - 1 + 0 \cdot - 1$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 + 0 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$4 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

$D_{x} = 4$

Paso 4.3

Usa la fórmula para resolver $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Sustituye $2$ por $D$ y $4$ por $D_{x}$ en la fórmula.

$x = \frac{4}{2}$

Paso 4.5

Divide $4$ por $2$ .

$x = 2$

Paso 5

Obtén el valor de $y$ con la regla de Cramer, que establece que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la columna $2$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $y$ del sistema con $[\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 4 \\ 6 & 0 \end{array} |$

Paso 5.2

Obtén el determinante.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot 0 - 6 \cdot - 4$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 - 6 \cdot - 4$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $- 4$ .

$0 + 24$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $24$ .

$24$

$D_{y} = 24$

Paso 5.3

Usa la fórmula para resolver $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Sustituye $2$ por $D$ y $24$ por $D_{y}$ en la fórmula.

$y = \frac{24}{2}$

Paso 5.5

Divide $24$ por $2$ .

$y = 12$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = 2$

$y = 12$

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