Matemática discreta Ejemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 12 & 0.3 \\ 17 & 0.4 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta $x$ toma un conjunto de valores separados (como $0$ , $1$ , $2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad $P (x)$ a cada valor posible $x$ . Para cada $x$ , la probabilidad $P (x)$ cae entre $0$ y $1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ es igual a $1$ .

1. Para cada $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.3

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.4

$0.3$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.3$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.5

$0.4$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.4$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.6

Para cada $x$ , la probabilidad $P (x)$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.7

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ .

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4$

Paso 1.8

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ es $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1$ .

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Paso 1.8.1

Suma $0.2$ y $0.1$ .

$0.3 + 0.3 + 0.4$

Paso 1.8.2

Suma $0.3$ y $0.3$ .

$0.6 + 0.4$

Paso 1.8.3

Suma $0.6$ y $0.4$ .

$1$

Paso 1.9

Para cada $x$ , la probabilidad de $P (x)$ se encuentra entre $0$ y $1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles $x$ es igual a $1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de $x$

Propiedad 2: $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de $x$

Propiedad 2: $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

$u = 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica $7$ por $0.2$ .

$u = 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4$

Paso 3.2

Multiplica $9$ por $0.1$ .

$u = 1.4 + 0.9 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4$

Paso 3.3

Multiplica $12$ por $0.3$ .

$u = 1.4 + 0.9 + 3.6 + 17 \cdot 0.4$

Paso 3.4

Multiplica $17$ por $0.4$ .

$u = 1.4 + 0.9 + 3.6 + 6.8$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma $1.4$ y $0.9$ .

$u = 2.3 + 3.6 + 6.8$

Paso 4.2

Suma $2.3$ y $3.6$ .

$u = 5.9 + 6.8$

Paso 4.3

Suma $5.9$ y $6.8$ .

$u = 12.7$

Paso 5

La varianza de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la desviación estándar.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

${(7 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $12.7$ .

${(7 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.2

Resta $12.7$ de $7$ .

${(- 5.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.3

Eleva $- 5.7$ a la potencia de $2$ .

$32.49 \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.4

Multiplica $32.49$ por $0.2$ .

$6.498 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.5

Multiplica $- 1$ por $12.7$ .

$6.498 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.6

Resta $12.7$ de $9$ .

$6.498 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.7

Eleva $- 3.7$ a la potencia de $2$ .

$6.498 + 13.69 \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.8

Multiplica $13.69$ por $0.1$ .

$6.498 + 1.369 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.9

Multiplica $- 1$ por $12.7$ .

$6.498 + 1.369 + {(12 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.10

Resta $12.7$ de $12$ .

$6.498 + 1.369 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.11

Eleva $- 0.7$ a la potencia de $2$ .

$6.498 + 1.369 + 0.49 \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.12

Multiplica $0.49$ por $0.3$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.13

Multiplica $- 1$ por $12.7$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + {(17 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.14

Resta $12.7$ de $17$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + {4.3}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.15

Eleva $4.3$ a la potencia de $2$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + 18.49 \cdot 0.4$

Paso 7.1.16

Multiplica $18.49$ por $0.4$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + 7.396$

Paso 7.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.1

Suma $6.498$ y $1.369$ .

$7.867 + 0.147 + 7.396$

Paso 7.2.2

Suma $7.867$ y $0.147$ .

$8.014 + 7.396$

Paso 7.2.3

Suma $8.014$ y $7.396$ .

$15.41$

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