Matemática discreta Ejemplos

\begin{matrix} x & P (x) 7 & 0.2 9 & 0.1 12 & 0.3 17 & 0.4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 12 & 0.3 \\ 17 & 0.4 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta

x

$x$ toma un conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad

P (x)

$P (x)$ a cada valor posible

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ cae entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.3

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.4

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.5

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.6

Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.7

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ .

0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4$

Paso 1.8

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es

0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1$ .

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Paso 1.8.1

Suma

0.2

$0.2$ y

0.1

$0.1$ .

0.3 + 0.3 + 0.4

$0.3 + 0.3 + 0.4$

Paso 1.8.2

Suma

0.3

$0.3$ y

0.3

$0.3$ .

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

Paso 1.8.3

Suma

0.6

$0.6$ y

0.4

$0.4$ .

1

$1$

1

$1$

Paso 1.9

Para cada

x

$x$ , la probabilidad de

P (x)

$P (x)$ se encuentra entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles

x

$x$ es igual a

1

$1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

u = 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4

$u = 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica

7

$7$ por

0.2

$0.2$ .

u = 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4

$u = 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4$

Paso 3.2

Multiplica

9

$9$ por

0.1

$0.1$ .

u = 1.4 + 0.9 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4

$u = 1.4 + 0.9 + 12 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.4$

Paso 3.3

Multiplica

12

$12$ por

0.3

$0.3$ .

u = 1.4 + 0.9 + 3.6 + 17 \cdot 0.4

$u = 1.4 + 0.9 + 3.6 + 17 \cdot 0.4$

Paso 3.4

Multiplica

17

$17$ por

0.4

$0.4$ .

u = 1.4 + 0.9 + 3.6 + 6.8

$u = 1.4 + 0.9 + 3.6 + 6.8$

u = 1.4 + 0.9 + 3.6 + 6.8

$u = 1.4 + 0.9 + 3.6 + 6.8$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma

1.4

$1.4$ y

0.9

$0.9$ .

u = 2.3 + 3.6 + 6.8

$u = 2.3 + 3.6 + 6.8$

Paso 4.2

Suma

2.3

$2.3$ y

3.6

$3.6$ .

u = 5.9 + 6.8

$u = 5.9 + 6.8$

Paso 4.3

Suma

5.9

$5.9$ y

6.8

$6.8$ .

u = 12.7

$u = 12.7$

u = 12.7

$u = 12.7$

Paso 5

La varianza de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la desviación estándar.

s^{2} = \sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

{(7 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(7 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

12.7

$12.7$ .

{(7 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(7 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.2

Resta

12.7

$12.7$ de

7

$7$ .

{(- 5.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(- 5.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.3

Eleva

- 5.7

$- 5.7$ a la potencia de

2

$2$ .

32.49 \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$32.49 \cdot 0.2 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.4

Multiplica

32.49

$32.49$ por

0.2

$0.2$ .

6.498 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$6.498 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.5

Multiplica

- 1

$- 1$ por

12.7

$12.7$ .

6.498 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$6.498 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.6

Resta

12.7

$12.7$ de

9

$9$ .

6.498 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$6.498 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.7

Eleva

- 3.7

$- 3.7$ a la potencia de

2

$2$ .

6.498 + 13.69 \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$6.498 + 13.69 \cdot 0.1 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.8

Multiplica

13.69

$13.69$ por

0.1

$0.1$ .

6.498 + 1.369 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$6.498 + 1.369 + {(12 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.9

Multiplica

- 1

$- 1$ por

12.7

$12.7$ .

6.498 + 1.369 + {(12 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$6.498 + 1.369 + {(12 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.10

Resta

12.7

$12.7$ de

12

$12$ .

6.498 + 1.369 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$6.498 + 1.369 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.11

Eleva

$- 0.7$ a la potencia de

$2$ .

$6.498 + 1.369 + 0.49 \cdot 0.3 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.12

Multiplica

$0.49$ por

$0.3$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + {(17 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.13

Multiplica

$- 1$ por

$12.7$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + {(17 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.14

Resta

$12.7$ de

$17$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + {4.3}^{2} \cdot 0.4$

Paso 7.1.15

Eleva

$4.3$ a la potencia de

$2$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + 18.49 \cdot 0.4$

Paso 7.1.16

Multiplica

$18.49$ por

$0.4$ .

$6.498 + 1.369 + 0.147 + 7.396$

Paso 7.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.1

Suma

$6.498$ y

$1.369$ .

$7.867 + 0.147 + 7.396$

Paso 7.2.2

Suma

$7.867$ y

$0.147$ .

$8.014 + 7.396$

Paso 7.2.3

Suma

$8.014$ y

$7.396$ .

$15.41$

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