Matemática discreta Ejemplos

\begin{matrix} x & P (x) 3 & 0.1 6 & 0.2 8 & 0.3 11 & 0.2 15 & 0.2 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.1 \\ 6 & 0.2 \\ 8 & 0.3 \\ 11 & 0.2 \\ 15 & 0.2 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta

x

$x$ toma un conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad

P (x)

$P (x)$ a cada valor posible

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ cae entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.3

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.4

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.5

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.6

Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.7

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ .

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Paso 1.8

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Suma

0.1

$0.1$ y

0.2

$0.2$ .

0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Paso 1.8.2

Suma

0.3

$0.3$ y

0.3

$0.3$ .

0.6 + 0.2 + 0.2

$0.6 + 0.2 + 0.2$

Paso 1.8.3

Suma

0.6

$0.6$ y

0.2

$0.2$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Paso 1.8.4

Suma

0.8

$0.8$ y

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Paso 1.9

Para cada

x

$x$ , la probabilidad de

P (x)

$P (x)$ se encuentra entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles

x

$x$ es igual a

1

$1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

u = 3 \cdot 0.1 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 3 \cdot 0.1 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Paso 3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica

3

$3$ por

0.1

$0.1$ .

u = 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Paso 3.2

Multiplica

6

$6$ por

0.2

$0.2$ .

u = 0.3 + 1.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Paso 3.3

Multiplica

8

$8$ por

0.3

$0.3$ .

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Paso 3.4

Multiplica

11

$11$ por

0.2

$0.2$ .

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 15 \cdot 0.2$

Paso 3.5

Multiplica

15

$15$ por

0.2

$0.2$ .

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3$

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Suma

0.3

$0.3$ y

1.2

$1.2$ .

u = 1.5 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 1.5 + 2.4 + 2.2 + 3$

Paso 4.2

Suma

1.5

$1.5$ y

2.4

$2.4$ .

u = 3.9 + 2.2 + 3

$u = 3.9 + 2.2 + 3$

Paso 4.3

Suma

3.9

$3.9$ y

2.2

$2.2$ .

u = 6.1 + 3

$u = 6.1 + 3$

Paso 4.4

Suma

6.1

$6.1$ y

3

$3$ .

u = 9.1

$u = 9.1$

u = 9.1

$u = 9.1$

Paso 5

La varianza de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la desviación estándar.

s^{2} = \sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

{(3 - (9.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - (9.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

9.1

$9.1$ .

{(3 - 9.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - 9.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.2

Resta

9.1

$9.1$ de

3

$3$ .

{(- 6.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(- 6.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.3

Eleva

- 6.1

$- 6.1$ a la potencia de

2

$2$ .

37.21 \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$37.21 \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.4

Multiplica

37.21

$37.21$ por

0.1

$0.1$ .

3.721 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.5

Multiplica

- 1

$- 1$ por

9.1

$9.1$ .

3.721 + {(6 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(6 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.6

Resta

9.1

$9.1$ de

6

$6$ .

3.721 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.7

Eleva

- 3.1

$- 3.1$ a la potencia de

2

$2$ .

3.721 + 9.61 \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 9.61 \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.8

Multiplica

9.61

$9.61$ por

0.2

$0.2$ .

3.721 + 1.922 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.9

Multiplica

- 1

$- 1$ por

9.1

$9.1$ .

3.721 + 1.922 + {(8 - 9.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(8 - 9.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.10

Resta

9.1

$9.1$ de

8

$8$ .

3.721 + 1.922 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.11

Eleva

- 1.1

$- 1.1$ a la potencia de

2

$2$ .

3.721 + 1.922 + 1.21 \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 1.21 \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.12

Multiplica

$1.21$ por

$0.3$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.13

Multiplica

$- 1$ por

$9.1$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.14

Resta

$9.1$ de

$11$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {1.9}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.15

Eleva

$1.9$ a la potencia de

$2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 3.61 \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.16

Multiplica

$3.61$ por

$0.2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.17

Multiplica

$- 1$ por

$9.1$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.18

Resta

$9.1$ de

$15$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {5.9}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.19

Eleva

$5.9$ a la potencia de

$2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 34.81 \cdot 0.2$

Paso 7.1.20

Multiplica

$34.81$ por

$0.2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

Paso 7.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Suma

$3.721$ y

$1.922$ .

$5.643 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

Paso 7.2.2

Suma

$5.643$ y

$0.363$ .

$6.006 + 0.722 + 6.962$

Paso 7.2.3

Suma

$6.006$ y

$0.722$ .

$6.728 + 6.962$

Paso 7.2.4

Suma

$6.728$ y

$6.962$ .

$13.69$

Ingresa TU problema