Matemática discreta Ejemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 10 & 0.2 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.2 \\ 21 & 0.1 \\ 24 & 0.2 \\ 28 & 0.2 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta $x$ toma un conjunto de valores separados (como $0$ , $1$ , $2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad $P (x)$ a cada valor posible $x$ . Para cada $x$ , la probabilidad $P (x)$ cae entre $0$ y $1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ es igual a $1$ .

1. Para cada $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.3

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.4

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.5

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.6

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.7

Para cada $x$ , la probabilidad $P (x)$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.8

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ .

$0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2$

Paso 1.9

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ es $0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1$ .

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Paso 1.9.1

Suma $0.2$ y $0.1$ .

$0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2$

Paso 1.9.2

Suma $0.3$ y $0.2$ .

$0.5 + 0.1 + 0.2 + 0.2$

Paso 1.9.3

Suma $0.5$ y $0.1$ .

$0.6 + 0.2 + 0.2$

Paso 1.9.4

Suma $0.6$ y $0.2$ .

$0.8 + 0.2$

Paso 1.9.5

Suma $0.8$ y $0.2$ .

$1$

Paso 1.10

Para cada $x$ , la probabilidad de $P (x)$ se encuentra entre $0$ y $1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles $x$ es igual a $1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de $x$

Propiedad 2: $0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de $x$

Propiedad 2: $0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

$10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica $10$ por $0.2$ .

$2 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

Paso 3.2

Multiplica $13$ por $0.1$ .

$2 + 1.3 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

Paso 3.3

Multiplica $17$ por $0.2$ .

$2 + 1.3 + 3.4 + 21 \cdot 0.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

Paso 3.4

Multiplica $21$ por $0.1$ .

$2 + 1.3 + 3.4 + 2.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

Paso 3.5

Multiplica $24$ por $0.2$ .

$2 + 1.3 + 3.4 + 2.1 + 4.8 + 28 \cdot 0.2$

Paso 3.6

Multiplica $28$ por $0.2$ .

$2 + 1.3 + 3.4 + 2.1 + 4.8 + 5.6$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma $2$ y $1.3$ .

$3.3 + 3.4 + 2.1 + 4.8 + 5.6$

Paso 4.2

Suma $3.3$ y $3.4$ .

$6.7 + 2.1 + 4.8 + 5.6$

Paso 4.3

Suma $6.7$ y $2.1$ .

$8.8 + 4.8 + 5.6$

Paso 4.4

Suma $8.8$ y $4.8$ .

$13.6 + 5.6$

Paso 4.5

Suma $13.6$ y $5.6$ .

$19.2$

Paso 5

La desviación estándar de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la varianza.

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

$\sqrt{{(10 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $19.2$ .

$\sqrt{{(10 - 19.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.2

Resta $19.2$ de $10$ .

$\sqrt{{(- 9.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.3

Eleva $- 9.2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{84.64 \cdot 0.2 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.4

Multiplica $84.64$ por $0.2$ .

$\sqrt{16.928 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $19.2$ .

$\sqrt{16.928 + {(13 - 19.2)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.6

Resta $19.2$ de $13$ .

$\sqrt{16.928 + {(- 6.2)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.7

Eleva $- 6.2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16.928 + 38.44 \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.8

Multiplica $38.44$ por $0.1$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.9

Multiplica $- 1$ por $19.2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + {(17 - 19.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.10

Resta $19.2$ de $17$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + {(- 2.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.11

Eleva $- 2.2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 4.84 \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.12

Multiplica $4.84$ por $0.2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.13

Multiplica $- 1$ por $19.2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + {(21 - 19.2)}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.14

Resta $19.2$ de $21$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + {1.8}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.15

Eleva $1.8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 3.24 \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.16

Multiplica $3.24$ por $0.1$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.17

Multiplica $- 1$ por $19.2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + {(24 - 19.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.18

Resta $19.2$ de $24$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + {4.8}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.19

Eleva $4.8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 23.04 \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.20

Multiplica $23.04$ por $0.2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.21

Multiplica $- 1$ por $19.2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + {(28 - 19.2)}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.22

Resta $19.2$ de $28$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + {8.8}^{2} \cdot 0.2}$

Paso 7.23

Eleva $8.8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + 77.44 \cdot 0.2}$

Paso 7.24

Multiplica $77.44$ por $0.2$ .

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + 15.488}$

Paso 7.25

Suma $16.928$ y $3.844$ .

$\sqrt{20.772 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + 15.488}$

Paso 7.26

Suma $20.772$ y $0.968$ .

$\sqrt{21.74 + 0.324 + 4.608 + 15.488}$

Paso 7.27

Suma $21.74$ y $0.324$ .

$\sqrt{22.064 + 4.608 + 15.488}$

Paso 7.28

Suma $22.064$ y $4.608$ .

$\sqrt{26.672 + 15.488}$

Paso 7.29

Suma $26.672$ y $15.488$ .

$\sqrt{42.16}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{42.16}$

Forma decimal:

$6.49307323 \dots$

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