Matemática discreta Ejemplos

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 4 & 0.2 \\ 6 & 0.4 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 4 & 0.2 \\ 6 & 0.4 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta

x

$x$ toma un conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad

P (x)

$P (x)$ a cada valor posible

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ cae entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.3

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.4

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.5

Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.6

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ .

0.4 + 0.2 + 0.4

$0.4 + 0.2 + 0.4$

Paso 1.7

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$ .

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Paso 1.7.1

Suma

0.4

$0.4$ y

0.2

$0.2$ .

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

Paso 1.7.2

Suma

0.6

$0.6$ y

0.4

$0.4$ .

1

$1$

1

$1$

Paso 1.8

Para cada

x

$x$ , la probabilidad de

P (x)

$P (x)$ se encuentra entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles

x

$x$ es igual a

1

$1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

1 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4

$1 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica

0.4

$0.4$ por

1

$1$ .

0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4

$0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4$

Paso 3.2

Multiplica

4

$4$ por

0.2

$0.2$ .

0.4 + 0.8 + 6 \cdot 0.4

$0.4 + 0.8 + 6 \cdot 0.4$

Paso 3.3

Multiplica

6

$6$ por

0.4

$0.4$ .

0.4 + 0.8 + 2.4

$0.4 + 0.8 + 2.4$

0.4 + 0.8 + 2.4

$0.4 + 0.8 + 2.4$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma

0.4

$0.4$ y

0.8

$0.8$ .

1.2 + 2.4

$1.2 + 2.4$

Paso 4.2

Suma

1.2

$1.2$ y

2.4

$2.4$ .

3.6

$3.6$

3.6

$3.6$

Paso 5

La desviación estándar de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la varianza.

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

\sqrt{{(1 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(1 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

3.6

$3.6$ .

\sqrt{{(1 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(1 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.2

Resta

3.6

$3.6$ de

1

$1$ .

\sqrt{{(- 2.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(- 2.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.3

Eleva

- 2.6

$- 2.6$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{6.76 \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{6.76 \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.4

Multiplica

6.76

$6.76$ por

0.4

$0.4$ .

\sqrt{2.704 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.5

Multiplica

- 1

$- 1$ por

3.6

$3.6$ .

\sqrt{2.704 + {(4 - 3.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {(4 - 3.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.6

Resta

3.6

$3.6$ de

4

$4$ .

\sqrt{2.704 + {0.4}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {0.4}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.7

Eleva

0.4

$0.4$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{2.704 + 0.16 \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.16 \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.8

Multiplica

0.16

$0.16$ por

0.2

$0.2$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.9

Multiplica

- 1

$- 1$ por

3.6

$3.6$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.10

Resta

3.6

$3.6$ de

6

$6$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {2.4}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {2.4}^{2} \cdot 0.4}$

Paso 7.11

Eleva

2.4

$2.4$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + 5.76 \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + 5.76 \cdot 0.4}$

Paso 7.12

Multiplica

5.76

$5.76$ por

0.4

$0.4$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + 2.304}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + 2.304}$

Paso 7.13

Suma

2.704

$2.704$ y

0.032

$0.032$ .

\sqrt{2.736 + 2.304}

$\sqrt{2.736 + 2.304}$

Paso 7.14

Suma

2.736

$2.736$ y

2.304

$2.304$ .

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

Forma decimal:

2.24499443 \dots

$2.24499443 \dots$

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