Matemática discreta Ejemplos

$x < 3$ , $n = 3$ , $p = 0.4$

Paso 1

Resta $0.4$ de $1$ .

$0.6$

Paso 2

Cuando el valor del número de sucesos $x$ se da como un intervalo, la probabilidad de $x$ es la suma de las probabilidades de todos los valores posibles $x$ entre $0$ y $n$ . En este caso, $p (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)$ .

$p (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)$

Paso 3

Obtén la probabilidad de $p (0)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula para la probabilidad de una distribución binomial para resolver el problema.

$p (x) = {}_{3}C_{0} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Paso 3.2

Obtén el valor de ${}_{3}C_{0}$ .

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Paso 3.2.1

Obtén el número de posibles combinaciones desordenadas cuando se seleccionan $r$ elementos de $n$ elementos disponibles

${}_{3}C_{0} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Paso 3.2.2

Completa con los valores conocidos.

$\frac{(3)!}{(0)! (3 - 0)!}$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.3.1.1

Expande $(3)!$ a $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(0)! (3 - 0)!}$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 3.2.3.1.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{(0)! (3 - 0)!}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6}{(0)! (3 - 0)!}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.3.2.1

Expande $(0)!$ a $1$ .

$\frac{6}{1 (3 - 0)!}$

Paso 3.2.3.2.2

Resta $0$ de $3$ .

$\frac{6}{1 (3)!}$

Paso 3.2.3.2.3

Expande $(3)!$ a $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{6}{1 (3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Paso 3.2.3.2.4

Multiplica $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 3.2.3.2.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{1 (6 \cdot 1)}$

Paso 3.2.3.2.4.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6}{1 \cdot 6}$

Paso 3.2.3.2.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6}{6}$

Paso 3.2.3.3

Divide $6$ por $6$ .

$1$

Paso 3.3

Rellena los valores conocidos en la ecuación.

$1 \cdot {(0.4)}^{0} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Paso 3.4

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.1

Multiplica ${(0.4)}^{0}$ por $1$ .

${(0.4)}^{0} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Paso 3.4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Paso 3.4.3

Multiplica ${(1 - 0.4)}^{3 - 0}$ por $1$ .

${(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Paso 3.4.4

Resta $0.4$ de $1$ .

${0.6}^{3 - 0}$

Paso 3.4.5

Resta $0$ de $3$ .

${0.6}^{3}$

Paso 3.4.6

Eleva $0.6$ a la potencia de $3$ .

$0.216$

Paso 4

Obtén la probabilidad de $p (1)$ .

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Paso 4.1

Usa la fórmula para la probabilidad de una distribución binomial para resolver el problema.

$p (x) = {}_{3}C_{1} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Paso 4.2

Obtén el valor de ${}_{3}C_{1}$ .

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Paso 4.2.1

Obtén el número de posibles combinaciones desordenadas cuando se seleccionan $r$ elementos de $n$ elementos disponibles

${}_{3}C_{1} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Paso 4.2.2

Completa con los valores conocidos.

$\frac{(3)!}{(1)! (3 - 1)!}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{(3)!}{(1)! (2)!}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe $(3)!$ como $3 \cdot 2!$ .

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

Paso 4.2.3.3

Cancela el factor común de $2!$ .

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Paso 4.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

Paso 4.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{(1)!}$

Paso 4.2.3.4

Expande $(1)!$ a $1$ .

$\frac{3}{1}$

Paso 4.2.3.5

Divide $3$ por $1$ .

$3$

Paso 4.3

Rellena los valores conocidos en la ecuación.

$3 \cdot (0.4) \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Paso 4.4

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.1

Evalúa el exponente.

$3 \cdot 0.4 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $0.4$ .

$1.2 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Paso 4.4.3

Resta $0.4$ de $1$ .

$1.2 \cdot {0.6}^{3 - 1}$

Paso 4.4.4

Resta $1$ de $3$ .

$1.2 \cdot {0.6}^{2}$

Paso 4.4.5

Eleva $0.6$ a la potencia de $2$ .

$1.2 \cdot 0.36$

Paso 4.4.6

Multiplica $1.2$ por $0.36$ .

$0.432$

Paso 5

Obtén la probabilidad de $p (2)$ .

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Paso 5.1

Usa la fórmula para la probabilidad de una distribución binomial para resolver el problema.

$p (x) = {}_{3}C_{2} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Paso 5.2

Obtén el valor de ${}_{3}C_{2}$ .

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Paso 5.2.1

Obtén el número de posibles combinaciones desordenadas cuando se seleccionan $r$ elementos de $n$ elementos disponibles

${}_{3}C_{2} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Paso 5.2.2

Completa con los valores conocidos.

$\frac{(3)!}{(2)! (3 - 2)!}$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{(3)!}{(2)! (1)!}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $(3)!$ como $3 \cdot 2!$ .

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $2!$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

Paso 5.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{(1)!}$

Paso 5.2.3.4

Expande $(1)!$ a $1$ .

$\frac{3}{1}$

Paso 5.2.3.5

Divide $3$ por $1$ .

$3$

Paso 5.3

Rellena los valores conocidos en la ecuación.

$3 \cdot {(0.4)}^{2} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Paso 5.4

Simplifica el resultado.

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Paso 5.4.1

Eleva $0.4$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 0.16 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Paso 5.4.2

Multiplica $3$ por $0.16$ .

$0.48 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Paso 5.4.3

Resta $0.4$ de $1$ .

$0.48 \cdot {0.6}^{3 - 2}$

Paso 5.4.4

Resta $2$ de $3$ .

$0.48 \cdot {0.6}^{1}$

Paso 5.4.5

Evalúa el exponente.

$0.48 \cdot 0.6$

Paso 5.4.6

Multiplica $0.48$ por $0.6$ .

$0.288$

Paso 6

La probabilidad $P (x < 3)$ es la suma de las probabilidades de todos los valores $x$ posibles entre $0$ y $n$ . $P (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 0.216 + 0.432 + 0.288 = 0.936$ .

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Paso 6.1

Suma $0.216$ y $0.432$ .

$p (x < 3) = 0.648 + 0.288$

Paso 6.2

Suma $0.648$ y $0.288$ .

$p (x < 3) = 0.936$

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