Matemática discreta Ejemplos

\begin{matrix} x & P (x) 2 & 0.2 4 & 0.2 9 & 0.1 12 & 0.2 17 & 0.2 21 & 0.1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 2 & 0.2 \\ 4 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \\ 17 & 0.2 \\ 21 & 0.1 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta

x

$x$ toma un conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad

P (x)

$P (x)$ a cada valor posible

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ cae entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.3

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.4

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.5

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.6

Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.7

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ .

0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1

$0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Paso 1.8

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es

0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1

$0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$ .

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Paso 1.8.1

Suma

0.2

$0.2$ y

0.2

$0.2$ .

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Paso 1.8.2

Suma

0.4

$0.4$ y

0.1

$0.1$ .

0.5 + 0.2 + 0.2 + 0.1

$0.5 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Paso 1.8.3

Suma

0.5

$0.5$ y

0.2

$0.2$ .

0.7 + 0.2 + 0.1

$0.7 + 0.2 + 0.1$

Paso 1.8.4

Suma

0.7

$0.7$ y

0.2

$0.2$ .

0.9 + 0.1

$0.9 + 0.1$

Paso 1.8.5

Suma

0.9

$0.9$ y

0.1

$0.1$ .

1

$1$

1

$1$

Paso 1.9

Para cada

x

$x$ , la probabilidad de

P (x)

$P (x)$ se encuentra entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles

x

$x$ es igual a

1

$1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1

$0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1

$0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

Expectation = 2 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1

$Expectation = 2 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica

2

$2$ por

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1

$Expectation = 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Paso 3.1.2

Multiplica

4

$4$ por

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.4 + 0.8 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Paso 3.1.3

Multiplica

9

$9$ por

0.1

$0.1$ .

Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Paso 3.1.4

Multiplica

12

$12$ por

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Paso 3.1.5

Multiplica

17

$17$ por

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 21 \cdot 0.1

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 21 \cdot 0.1$

Paso 3.1.6

Multiplica

21

$21$ por

0.1

$0.1$ .

Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Paso 3.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.1

Suma

0.4

$0.4$ y

0.8

$0.8$ .

Expectation = 1.2 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1

$Expectation = 1.2 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Paso 3.2.2

Suma

1.2

$1.2$ y

0.9

$0.9$ .

Expectation = 2.1 + 2.4 + 3.4 + 2.1

$Expectation = 2.1 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Paso 3.2.3

Suma

2.1

$2.1$ y

2.4

$2.4$ .

Expectation = 4.5 + 3.4 + 2.1

$Expectation = 4.5 + 3.4 + 2.1$

Paso 3.2.4

Suma

4.5

$4.5$ y

3.4

$3.4$ .

Expectation = 7.9 + 2.1

$Expectation = 7.9 + 2.1$

Paso 3.2.5

Suma

7.9

$7.9$ y

2.1

$2.1$ .

Expectation = 10

$Expectation = 10$

Expectation = 10

$Expectation = 10$

Expectation = 10

$Expectation = 10$

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