Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$

Paso 1

Para obtener el número posible de raíces positivas, mira los signos en los coeficientes y cuenta la cantidad de veces que los signos en los coeficientes cambian de positivo a negativo o de negativo a positivo.

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$

Paso 2

Como hay $2$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $2$ raíces positivas (regla de los signos de Descartes). Los otros números posibles de las raíces negativas se obtienen mediante la resta de los pares de raíces (por ej., $(2 - 2)$ ).

Raíces positivas: $2$ o $0$

Paso 3

Para obtener el número posible de raíces negativas, reemplaza $x$ por $- x$ y repite la comparación del signo.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{3} + {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 2$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 2$

Paso 4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- x) = 2 (- x^{3}) + {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 2$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 2$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{2} x^{2} - 5 (- x) + 2$

Paso 4.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + 1 x^{2} - 5 (- x) + 2$

Paso 4.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + x^{2} - 5 (- x) + 2$

Paso 4.7

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2$

Paso 5

Como hay $1$ cambio de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $1$ raíz negativa (regla de los signos de Descartes).

Raíces negativas: $1$

Paso 6

El número posible de raíces positivas es $2$ o $0$ y el número posible de raíces negativas es $1$ .

Raíces positivas: $2$ o $0$

Raíces negativas: $1$

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