Matemática discreta Ejemplos

[\begin{matrix} 2 & 4 8 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 8 & 6 \end{array}]$

Paso 1

La inversa de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que

a d - b c

$a d - b c$ es el determinante.

Paso 2

Obtén el determinante.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 \cdot 6 - 8 \cdot 4

$2 \cdot 6 - 8 \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

6

$6$ .

12 - 8 \cdot 4

$12 - 8 \cdot 4$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

- 8

$- 8$ por

4

$4$ .

12 - 32

$12 - 32$

12 - 32

$12 - 32$

Paso 2.2.2

Resta

32

$32$ de

12

$12$ .

- 20

$- 20$

- 20

$- 20$

- 20

$- 20$

Paso 3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

\frac{1}{- 20} [\begin{matrix} 6 & - 4 - 8 & 2 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 20} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 8 & 2 \end{array}]$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

- \frac{1}{20} [\begin{matrix} 6 & - 4 - 8 & 2 \end{matrix}]

$- \frac{1}{20} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 8 & 2 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica

- \frac{1}{20}

$- \frac{1}{20}$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} - \frac{1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 7.1.1

Mueve el signo menos inicial en

- \frac{1}{20}

$- \frac{1}{20}$ al numerador.

[\begin{matrix} \frac{- 1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Factoriza

2

$2$ de

20

$20$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Factoriza

2

$2$ de

6

$6$ .

[\begin{matrix} \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{20} \cdot - 4 - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.1.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot 3 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.2

Combina

$\frac{- 1}{10}$ y

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.5

Cancela el factor común de

$4$ .

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Paso 7.5.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{1}{20}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.5.2

Factoriza

$4$ de

$20$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 (5)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.5.3

Factoriza

$4$ de

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.5.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.5.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{5} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.6

Combina

$\frac{- 1}{5}$ y

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- - 1}{5} \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.7

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.8

Cancela el factor común de

$4$ .

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Paso 7.8.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{1}{20}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.8.2

Factoriza

$4$ de

$20$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 (5)} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.8.3

Factoriza

$4$ de

$- 8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 2) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.8.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 2) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.8.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.9

Combina

$\frac{- 1}{5}$ y

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- - 2}{5} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.10

Multiplica

$- 1$ por

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.11

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.11.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{1}{20}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.11.2

Factoriza

$2$ de

$20$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.11.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.11.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{10} \end{array}]$

Paso 7.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{1}{10} \end{array}]$

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