Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Escribe la matriz como un producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Paso 2

Multiplica

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es

$2 \times 2$ y la segunda matriz es

$2 \times 2$ .

Paso 2.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Paso 2.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Paso 3

Resuelve.

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Paso 3.1

Escribe como un sistema de ecuaciones lineales

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{11} = 2$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Paso 3.2

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de

$u_{11}$ por

$1$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1.1

Reemplaza todos los casos de

$u_{11}$ en

$l_{21} u_{11} = 2$ por

$1$ .

$l_{21} \cdot 1 = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Paso 3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica

$l_{21}$ por

$1$ .

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Paso 3.2.2

Reemplaza todos los casos de

$l_{21}$ por

$2$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.2.1

Reemplaza todos los casos de

$l_{21}$ en

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$ por

$2$ .

$2 \cdot u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Multiplica

$2$ por

$u_{12}$ .

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de

$u_{12}$ por

$- 1$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Reemplaza todos los casos de

$u_{12}$ en

$2 u_{12} + u_{22} = 3$ por

$- 1$ .

$2 (- 1) + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Paso 3.2.4

Mueve todos los términos que no contengan

$u_{22}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.4.1

Suma

$2$ a ambos lados de la ecuación.

$u_{22} = 3 + 2$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Paso 3.2.4.2

Suma

$3$ y

$2$ .

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Paso 3.2.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$u_{22} = 5 l_{21} = 2 u_{11} = 1 u_{12} = - 1$

Paso 3.2.6

Enumera todas las soluciones.

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

Paso 4

Sustituye en los valores resueltos.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 5 \end{array}]$

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