Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de $a_{21}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento $a_{21}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de $a_{31}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento $a_{31}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Paso 2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 (6 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$2 (6 - 8) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta $8$ de $6$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (1 \cdot 2 - 3 \cdot 2)$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)$

Paso 4.2.2

Resta $6$ de $2$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 + 0 + 3 \cdot - 4$

Paso 5.1.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$- 4 + 0 - 12$

Paso 5.2

Suma $- 4$ y $0$ .

$- 4 - 12$

Paso 5.3

Resta $12$ de $- 4$ .

$- 16$

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