Matemática discreta Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Paso 1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Paso 2

Usa el cuadro de signos y la matriz dada para obtener el cofactor de cada elemento.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{11}

$a_{11}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

El elemento menor de

a_{11}

$a_{11}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 6 8 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Paso 2.1.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1.1

Multiplica

5

$5$ por

9

$9$ .

a_{11} = 45 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 45 - 8 \cdot 6$

Paso 2.1.2.2.1.2

Multiplica

- 8

$- 8$ por

6

$6$ .

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

Paso 2.1.2.2.2

Resta

48

$48$ de

45

$45$ .

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

Paso 2.2

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{12}

$a_{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

El elemento menor de

a_{12}

$a_{12}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

2

$2$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 6 7 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6

$a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Multiplica

4

$4$ por

9

$9$ .

a_{12} = 36 - 7 \cdot 6

$a_{12} = 36 - 7 \cdot 6$

Paso 2.2.2.2.1.2

Multiplica

- 7

$- 7$ por

6

$6$ .

a_{12} = 36 - 42

$a_{12} = 36 - 42$

a_{12} = 36 - 42

$a_{12} = 36 - 42$

Paso 2.2.2.2.2

Resta

42

$42$ de

36

$36$ .

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

Paso 2.3

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{13}

$a_{13}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

El elemento menor de

a_{13}

$a_{13}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

3

$3$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5

$a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1.1

Multiplica

4

$4$ por

8

$8$ .

a_{13} = 32 - 7 \cdot 5

$a_{13} = 32 - 7 \cdot 5$

Paso 2.3.2.2.1.2

Multiplica

- 7

$- 7$ por

5

$5$ .

a_{13} = 32 - 35

$a_{13} = 32 - 35$

a_{13} = 32 - 35

$a_{13} = 32 - 35$

Paso 2.3.2.2.2

Resta

35

$35$ de

32

$32$ .

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

Paso 2.4

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{21}

$a_{21}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

El elemento menor de

a_{21}

$a_{21}$ es la determinante con la fila

2

$2$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 8 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3

$a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

9

$9$ .

a_{21} = 18 - 8 \cdot 3

$a_{21} = 18 - 8 \cdot 3$

Paso 2.4.2.2.1.2

Multiplica

- 8

$- 8$ por

3

$3$ .

a_{21} = 18 - 24

$a_{21} = 18 - 24$

a_{21} = 18 - 24

$a_{21} = 18 - 24$

Paso 2.4.2.2.2

Resta

24

$24$ de

18

$18$ .

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

Paso 2.5

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{22}

$a_{22}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

El elemento menor de

a_{22}

$a_{22}$ es la determinante con la fila

2

$2$ y la columna

2

$2$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 7 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Paso 2.5.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1.1

Multiplica

9

$9$ por

1

$1$ .

a_{22} = 9 - 7 \cdot 3

$a_{22} = 9 - 7 \cdot 3$

Paso 2.5.2.2.1.2

Multiplica

- 7

$- 7$ por

3

$3$ .

a_{22} = 9 - 21

$a_{22} = 9 - 21$

a_{22} = 9 - 21

$a_{22} = 9 - 21$

Paso 2.5.2.2.2

Resta

21

$21$ de

9

$9$ .

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

Paso 2.6

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{23}

$a_{23}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

El elemento menor de

a_{23}

$a_{23}$ es la determinante con la fila

2

$2$ y la columna

3

$3$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 2.6.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2

$a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1.1

Multiplica

8

$8$ por

1

$1$ .

a_{23} = 8 - 7 \cdot 2

$a_{23} = 8 - 7 \cdot 2$

Paso 2.6.2.2.1.2

Multiplica

- 7

$- 7$ por

2

$2$ .

a_{23} = 8 - 14

$a_{23} = 8 - 14$

a_{23} = 8 - 14

$a_{23} = 8 - 14$

Paso 2.6.2.2.2

Resta

14

$14$ de

8

$8$ .

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

Paso 2.7

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{31}

$a_{31}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

El elemento menor de

a_{31}

$a_{31}$ es la determinante con la fila

3

$3$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 5 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Paso 2.7.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3

$a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3$

Paso 2.7.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

6

$6$ .

a_{31} = 12 - 5 \cdot 3

$a_{31} = 12 - 5 \cdot 3$

Paso 2.7.2.2.1.2

Multiplica

- 5

$- 5$ por

3

$3$ .

a_{31} = 12 - 15

$a_{31} = 12 - 15$

a_{31} = 12 - 15

$a_{31} = 12 - 15$

Paso 2.7.2.2.2

Resta

15

$15$ de

12

$12$ .

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

Paso 2.8

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{32}

$a_{32}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

El elemento menor de

a_{32}

$a_{32}$ es la determinante con la fila

3

$3$ y la columna

2

$2$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 4 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Paso 2.8.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3

$a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1.1

Multiplica

6

$6$ por

1

$1$ .

a_{32} = 6 - 4 \cdot 3

$a_{32} = 6 - 4 \cdot 3$

Paso 2.8.2.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

3

$3$ .

a_{32} = 6 - 12

$a_{32} = 6 - 12$

a_{32} = 6 - 12

$a_{32} = 6 - 12$

Paso 2.8.2.2.2

Resta

12

$12$ de

6

$6$ .

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

Paso 2.9

Calcula el elemento menor para el elemento

a_{33}

$a_{33}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1

El elemento menor de

a_{33}

$a_{33}$ es la determinante con la fila

3

$3$ y la columna

3

$3$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 4 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Paso 2.9.2

Evalúa el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

Paso 2.9.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1.1

Multiplica

5

$5$ por

1

$1$ .

a_{33} = 5 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 5 - 4 \cdot 2$

Paso 2.9.2.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

2

$2$ .

a_{33} = 5 - 8

$a_{33} = 5 - 8$

a_{33} = 5 - 8

$a_{33} = 5 - 8$

Paso 2.9.2.2.2

Resta

8

$8$ de

5

$5$ .

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

Paso 2.10

La matriz de adjuntos es una matriz de los elementos menores con el signo cambiado para los elementos en las posiciones

-

$-$ en el cuadro de signos.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 3 6 & - 12 & 6 - 3 & 6 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 3 6 & - 12 & 6 - 3 & 6 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

Paso 3

Transpón la matriz al intercambiar las filas por columnas.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 3 6 & - 12 & 6 - 3 & 6 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

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